Factorisation

[JérémyDubois]

Lostounet a dit qu'i dérive par u, alors i a considéré v comme une constante ?

[Viko]

exactement

[Lostounet]

Si u = v, on trouve en exprimant tout en fonction de u que ton expression vaut 9(2u^3 + u^3) - (3u)^3 = 27u^3 - 27u^3 = 0. .

Et si on connait l'astuce: (u - v) est racine. En dérivant l'expression 9(2u^(3) +v^(3)) - (2u+v)^3
en fonction de u, on trouve et on constate que si u = v encore une fois,

54u^2 - 6*9u^2 = 0, ce qui signifie que la factorisation est en fait de la forme

Salut,

Puisque ma méthode semble t'intéresser, je vais détailler.
J'utilise en fait les deux résultats suivants: le premier concerne les racines doubles d'un polynôme, et le second est la formule de dérivation des fonctions composées que je t'avais demandé d'apprendre l'autre fois (mais que tu n'as pas encore fait.. ).

Tout d'abord, je vais noter u = X (qui est la variable de ma fonction polynôme) et je vais considérer que v est une constante. On veut donc factoriser le polynôme

Résultat 1: Si est racine de P (ie ), c'est que P est de la forme avec Q un polynôme. Si de plus est racine de P' ( ie ) c'est que P est de la forme avec R un polynôme.

Résultat 2: Formule de dérivation des fonctions composées. Si f et g sont deux fonctions dérivables tel que la composée soit définie blablabla, alors on a la formule

Cela signifie que si j'applique cette formule avec f(x) = x^3 et g(x) = 2x + v (rappel v est une constante) alors on a et donc et par le résultat 2:

Comme alors par ce qui précède.

Comme et que par le résultat 1, c'est que avec R un polynôme. Ici, comme P est de degré 3, c'est que R est de degré 1 donc de la forme (aX + b) avec a et b deux constantes à trouver. Comment les trouver? En prenant X = u = 0, P(0) =v^2b mais aussi par le polynôme initial qui est 9(2u^3 +v^3) - (2u+v)^3 = 9(0 + v^3) - v^3 = 8v^3 alors alors .

En prenant , on a mais aussi on en conclut alors a = 10.
En fin de compte,

En revenant aux notations initiale,

[Pseuda]

De plus vous parlez de redistribution, je ne saisi pas ?

Bonjour,

Redistribution = on redéveloppe : .

Le résultat s'applique aussi pour .

[JérémyDubois]

Oh merci énormemment, justement Lostounet les exercices que tu me demandais sont disponibles sur ce http://jgaltier.free.fr/MenuTS.htm

[Lostounet]

Oh merci énormemment, justement Lostounet les exercices que tu me demandais sont disponibles sur ce http://jgaltier.free.fr/MenuTS.htm

Thanks!
Des fois je fais des examens pour mon petit frère pour l'aider à bien comprendre (là il rentre en TS).

Ce sera une bonne référence pour moi.

[JérémyDubois]

et oui les exercices sont ceux de l'entrée en prépa à LLG.

Voici l'exercice, mais je n'arrive pas à résoudre l'inéquation avec cette factorisation, je pense qu'il faut quel que chose de pus subtil encore.

[Lostounet]

À ton avis, si u et v sont deux nombres positifs, quel est le signe de 2(u-v)^2(5u+4v) ?

[JérémyDubois]

excuses-moi je croyais que c'était pour tous reéls encore ma lu l'énoncé

[JérémyDubois]

Sinon le VI est aussi trè intéressant mais je ne sais pas comment m'y prendre. Je vois qu'on doit connaitre les inégaités sur le bout de la langue

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Pour l'exercice n° IV .

1) Je crois que tu trouveras facilement que :



ensuite si tu remarques que :

alors tu peux conclure .

[Lostounet]

Sinon le VI est aussi trè intéressant mais je ne sais pas comment m'y prendre. Je vois qu'on doit connaitre les inégaités sur le bout de la langue

Salut,
Qu'as-tu essayé de faire pour le VI?

Pour ma part, j'ai posé p = (a + b + c)/2 et j'ai regardé 4p^2 pour ensuite effectuer une minoration par inégalités triangulaires en remplaçant (ab + bc + ac) par 12.

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Exercice n° VI .

J'adopte les notations de Lostounet sans pour autant adopter sa démarche : pour minorer "p" , j'opte pour la méthode directe .

Tout d'abord , on a :



donc on a :



Si a = b = c = 2 alors p = 3 , donc 3 est le minimum de p .

Pour majorer "p" , j'ai utilisé comme Lostounet les inégalités triangulaires .

[Lostounet]

Hello,

2p = (a + b + c) donc alors: .

Par contre ici il vaut mieux utiliser ce qu'a fait Ayman car j'avais opté pour une minoration qui n'est pas optimale.
En effet, j'avais vu que comme a>= b + c alors a^2 >= ab + ac et pareil b^2>= bc + ab et c^2 >= ac + bc

ce qui fait mais Ayman a montré l'inégalité qui est meilleure !

Cela assure finalement que

[aymanemaysae]

Bonsoir ;

Pour majorer "p" , j'ai opté pour les inégalités triangulaires suivantes :

et ,

ce qui nous donne : et

c-à-d : et



















Si alors

donc est le maximum de p .

[JérémyDubois]

je vais essayer de voir vos réponses