Factorisation polynôme

[dodo17]

Bonjour j'ai réussi les 1ères questions mais la 4 je bloque je ne sais pas comment m'y prendre pour une démonstration valable.

Merci d'avance pour votre aide

[Pisigma]

Bonjour,
la 2e parenthèse, somme des termes d'une suite géométrique

[dodo17]

Faudrait le démontrer sans les suites puisque pas encore vu

[hdci]

Sans utiliser les suites géométriques, il suffit simplement de développer :
A quoi est égal ?
Puis faire la différence en regroupant les termes qui vont bien ensemble.

[dodo17]

Ok je l'avais vu qu'on pouvait le développer mais c'est plus la rédaction qui me pose souci içi finalement. Comment le rédiger correctement?

[hdci]

Comme dans l'énoncé, avec des points de suspension.

Comment écris-tu le développement de


Propose-nous une rédaction !

[dodo17]

Code: Tout sélectionner

x(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1) = x^n + x^(n-1) +...+x²+x
 x^n + x^(n-1)+...+x²+1 - x^(n-1)-....-x-1 = x^n - 1


On demande de calculer f(1) (ça fait 0 c'est donc une racine) on peut donc factoriser par (x-1) x polynôme de degré n-1. Est- ce que le fait de demander de calculer f(1) me permet de résoudre la suite? car là je ne l'utilise pas

[dodo17]

x(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1) = x^n + x^(n-1) +...+x²+x
x^n + x^(n-1)+...+x²+1 - x^(n-1)-....-x-1 = x^n - 1

On demande de calculer f(1) (ça fait 0 c'est donc une racine) on peut donc factoriser par (x-1) x polynôme de degré n-1. Est- ce que le fait de demander de calculer f(1) me permet de résoudre la suite? car là je ne l'utilise pas

[hdci]

Pour être "très précis" dans la rédaction, tu peux ajouter une ligne en ayant regroupé tou les , ou bien de façon manuscrite en "biffant" légèrement les termes qui se simplifient :





Le calcul de ne sert qu'à montrer que l'on peut factoriser par ; à condition d'avoir vu ce théorème (qui est vu en 1ère année post bac) : si est une racine de alors il existe un unique polynôme tel que .
Cela ne sert juste qu'à montrer l'existence de la factorisation, et non à trouver la factorisation (le polynôme Q).

[hdci]

Autre méthode : si tu as vu comment utiliser le symbole sigma et la manipulation des indices, tu peux écrire directement

[dodo17]

Merci beaucoup pour l'aide et pour cette réponse détaillée

[hdci]

Bon courage pour la suite !

[mathelot]

Bonsoir,
se démontre aussi par récurrence en écrivant, pour n entier: