Factorisation d'un polynôme

[Ccil]

Bonjour,
Je souhaiterais savoir comment factoriser le polynôme suivant :
P(x) = 2x³ + 3x² - x – 2

Je connais la formule
(x-a)(x-b)(x-c)
Pour x³ + Px² + Qx + R avec P = - (a+b+c), Q= ab + bc + ca, R = - abc

Mais comme dans P(x) il y a le 2 devant x³, ben je sais pas comment m’y prendre…

Merci pour votre aide,
Ccil

[laetidom]

Bonsoir,

est racine évidente, car , donc tu peux diviser P(x) par ,

tu aura alors P(x) = (x + 1) (ax² + bx + c),

trouve alors les 2 racines de l'équation du second degré . . .

[Ccil]

Merci Laetidom pour ta réponse, j'avais essayé avec -1 mais une fois que j'ai P(x) = (x + 1) (ax² + bx + c), je ne sais pas comment trouver mes a, b et c ni répartir les + et les - : j'ai essayé de deviner plusieurs solutions mais en redéveloppant pour vérifier je ne tombe pas juste, par exemple :
P(x) = (x + 1) (ax² + bx + c) = (x + 1) (2x² + 3x - 2) = 2x³ + 5x² + x – 2

après, trouver les deux racines de l'équation du second degré, je sais faire, mais avant il me faudrait la méthode pour déduire a, b et c, HELP !!! !
Ccil

[samoufar]

Bonsoir,

Il ne faut pas tâtonner pour trouver , et , dans le sens où on se dit "je vais essayer , et et j'espère que ça va marcher".

Développe plutôt et identifie les coefficients devant les puissances de x avec ceux que de ...

[Al-Kashi]

Bonsoir,

Il faut développer et réduire

Tu trouves

Par identification tu obtiens le système suivant:


Ainsi,
NB: aussi, tu peux utiliser la méthode de la division euclidienne de polynômes.

[Ccil]

Super merci samoufar et Al-Kashi, en parallèle je cherchais sur internet la méthode pour décomposer et du coup je comprends que c'est la même logique ! Je continue mes exercices, enfin... jusqu'aux prochains blocages !?!
Bonne soirée

[Al-Kashi]

Je t'en prie,
Bon courage.

[laetidom]

Bonjour,

Ca marche aussi comme ça :


(division euclidienne)

Bonne journée @ tous !

[Ccil]

Bonjour à tous,
Et maintenant je souhaiterais trouver 4 inconnues a, b, c et d en décomposant la fonction suivante :

l(x) = 2x + 3
(x-1) ²(x² + 1)

Sous la forme l(x) = a + b + cx + d
(x-1) (x-1) ² (x² + 1)

En mettant tout sur le même dénominateur j’ai :

l(x) = a(x-1) (x² + 1) + b(x² + 1) + (cx + d) (x-1) ²
(x-1) ²(x² + 1)


A la finale j’arrive au système suivant : a + c = 0
b + c + d – a = 0
a + c – 2d = 2
-a + b + d = 3

Pour la suite, je ne vois pas comment m’y prendre…

Merci pour votre aide,
Ccil

[Ccil]

J'essaie de réécrire mieux pour que l'on comprenne : (c'est des fractions)

Bonjour à tous,
Et maintenant je souhaiterais trouver 4 inconnues a, b, c et d en décomposant la fonction suivante :

l(x) = 2x + 3
(x-1) ²(x² + 1)

Sous la forme l(x) = a + b + cx + d
(x-1) (x-1) ² (x² + 1)

En mettant tout sur le même dénominateur j’ai :

l(x) = a(x-1) (x² + 1) + b(x² + 1) + (cx + d) (x-1) ²
(x-1) ²(x² + 1)


A la finale j’arrive au système suivant :
a + c = 0
b + c + d – a = 0
a + c – 2d = 2
-a + b + d = 3

Pour la suite, je ne vois pas comment m’y prendre…

Merci pour votre aide,
Ccil

PS : il n'y a pas de traits mais c'est bien des fractions ! Je viens de me casser la tête à l'écrire lisiblement dans word et là la mise en page s'est supprimée....

[Ccil]

la bonne vieille méthode du scan sera plus efficace...

Fonctions rationnelles_4 inconnues.jpg (215.15 Kio) Vu 1726 fois

[samoufar]

Bonsoir,

D'abord désolé que tu aies dû te casser la tête à tout mettre en page sur Word, mais bon il faillait un peu s'y attendre Résultat des courses, c'est difficile à lire... Sinon, avec le scan c'est tout de suite bien mieux

Pour une jolie (et surtout lisible) mise en page, tu peux utiliser les formules LaTeX (bouton "tex" en haut à droite ou "éditeur d'équation" qui est plutôt bien fait). Voilà notamment un exemple :

\dfrac{a}{b} ->

3x^3-2x^2+x+1 ->

Cette opération s'appelle une décomposition en éléments simples. Tu peux y aller comme tu as fait en réduisant au même dénominateur et en résolvant le système à 4 équations (ici il se résout plutôt bien, par exemple les lignes 1 et 3 te donnent d=-1, etc.). Mais généralement c'est suicidaire

Mais bon on va quand même faire comme ça.
- La ligne 1 te dit que a = -c. Donc si tu trouves c, tu as immédiatement a. Donc tu peux remplacer a par -c dans les lignes 2, 3 et 4.
- Tu as donc

a = -c
b - c + d = 0
-2d = 2
b + c + d = 3

- Les lignes 2, 3 et 4 forment un système à 3 équations. En faisant comme ce qui précède, tu te ramènes à deux équations, puis une seule, et c'est bon

[Al-Kashi]

Bonsoir Ccil,
Tu as une erreur à la dernière ligne. Le coefficient de serait .
Le système à résoudre est :


En résolvant le système, tu dois trouver:

[Ccil]

Merci samoufar et Al-Kashi, je viens de refaire toutes les étapes et c'est tout bon, du coup, j'ai du mal à comprendre pourquoi j'ai buté dessus... La fatigue sûrement
A+
Ccil

[Al-Kashi]

Je t'en prie,
Bon courage !