Factorisation d'un polinôme

[Shou-02]

Bonjour ,

Dans un devoir , on me demande de :

->Démontrer que pour tout réel x , on a : x^3-a^3 = (x²-a²)x+a²x-a^3 . Cette question , je l'ai reussi

Par contre les suivantes je bloque , j'y suis depuis deja 2 heures , et e ne vois aucune solution .

->En deduire que pour tout réel x , x^3-a^3 = (x-a)(x²+ax+a²)

j'ai essayé de déduire , mais jarrive a (x-a)(x²-2ax+a²) :hein:

-> Et ensuite , On considére P(x) = ax^3 + bx² +cx+ d , un polinome de degrés 3 . Démontrer qu'il existe un polinome Q(x) a expliciter tel que :
P(x)-p(a)=(x-a)Qx

Merci d'avance pour votre aide .

Shou .

[Benjamin]

Bonjour

Tu pars du résultat de la question 1 : tu sais que x²-a²=(...)(...) d'après une identité remarquable.
De plus, tu peux mettre a² en facteur dans a²x-a^3.
Ainsi donc, tu devras pouvoir mettre en facteur (x-a) est aboutir à ce que tu cherches.

[Shou-02]

Merci , donc ainsi , J'ai :
( x-a)(x+a)x+a²x-a² X a
(x-a)x²+ax+a²(x-a)
(x-a)x²+ax+a² .

Merci beaucoup =)

Par contre dans la suivante , je ne comprends pas bien ce qu'est le P(a).

[Benjamin]

P(a), c'est P(x) où x=a.

[Shou-02]

Mais ici , le a , je ne vois pas du tout ce que c'est .

Peut-être ... (x-a)(x²+ax+a²) :hein:

Merci pour votre aide encore une fois

[Benjamin]

Il y a une petite erreur d'énoncé. Le a de P(x)=ax^3+bx²+cx+d n'est pas le même que le a de P(a)... Tu n'as qu'à prendre P(x)=a'*x^3+bx²+cx+d.

Donc, P(a)=a'*a^3+b*a²+c*a+d et donc P(x)-P(a)=a'*(x^3-a^3)+b*(x²-a²)+c*(x-a).

Grâce à la première question, tu sais que x^3-a^3=... De plus, x²-a²=...
Donc, tu peux répondre à la question ;)

[Shou-02]

en fét cela donne :


a'*(x^3-a^3 )+ b(x²+a²)+c(x-a)+d c'est ca ?

Donc je remplace x^3-a^3 par (x-a)(x²+ax+a²)

et x²+a² par (x+a)(x-a)

C'est ca ?

Donc ca donnerais ... a'*[(x-a)(x²+ax+a²)]+b[(x+a)(x-a)]+c(x-a)+d

C'est ca ?

[Benjamin]

C'est ça, sauf que le 'd' se simplifie quand tu soustrais P(a) à P(x) ;). Il ne te reste plus qu'à factoriser (x-a).

[Shou-02]

Donc (x-a) [( a'x²+ax+a²+bx-ba+cx-ca)]

mais je ne voit pas comment continuer ...

Pour arriver a ax^3 + bx² +cx c'est bien ca ?

[Benjamin]

Attention, tu as fait des erreurs de calculs. Tu pars de a'*[(x-a)(x²+ax+a²)]+b[(x+a)(x-a)]+c(x-a).

Qu'obtiens-tu après factorisation de (x-a) ? Tu pourras alors donné Q(x).

[Shou-02]

Je pense à (x-a) a' [ x² +ax+a² +bx²+x²+c]

Mais je n'en suis pas du tout sure ...

Je pense avoir encore fait une erreur .

Merci vraiment de votre aide .

[Benjamin]

Non, ce n'est pas vraiment ça...

a'*[(x-a)(x²+ax+a²)]+b[(x+a)(x-a)]+c(x-a)= (x-a)*[a'(x²+ax+a²)+b(x+a)+c)]

tu peux alors mettre Q(x) sous la forme Ax²+Bx+C.

[Shou-02]

Ah d'accord . Le probleme que j'ai c'est que je me retrouve avec des x² , des a² , des bx , des ba , des ax , et je ne comprend absolument pas comment faire avec toutes ces formes ...

Je suis désolé , mais je n'arrive pas vraiment a savoir ...

Merci vraiment =)

[Shou-02]

J'ai reesayer , et vraiiment , je ne sais comment reduire pour mettre sous la forme ax²+bx+c ...

Merci de vos reponses =)

[Benjamin]

J'ai écrit avec des majuscules. A n'est pas a, B n'est pas b, etc...

Il suffit de regrouper tout ce qui est en x², en x, et les constantes.