Factorisation des racines

par **Flywer** » 30 Juil 2012, 23:54

Bonsoir,
Je me posais une question au sujet des factorisations des racines.
Pourquoi dans une équation de la forme
z^3-(5-3i)z²+(6-11i)z+2+16i=0
On peut la mettre sous la forme:
(z-racine)(az²+bz+c)
Je ne vois pas bien d'où cela viens.

Merci d'avance.

par **SaintAmand** » 31 Juil 2012, 03:01

Flywer a écrit:Je me posais une question au sujet des factorisations des racines.
Pourquoi dans une équation de la forme
z^3-(5-3i)z²+(6-11i)z+2+16i=0
On peut la mettre sous la forme:
(z-racine)(az²+bz+c)
Je ne vois pas bien d'où cela viens.

Le théorème dont tu parles est le suivant:

Soit un polynôme à coefficients complexes de degré et . Alors si et seulement si il existe un polynôme à coefficients complexes tel que pour tout .

Remarque: on peut remplacer

par

.

Démonstration: notons

les coefficients du polynôme

. Supposons que

. Alors
[CENTER]

[/CENTER]
De l'identité
[CENTER]

[/CENTER]
on déduit immédiatement que

divise

.

L'autre implication est triviale.

par **Flywer** » 31 Juil 2012, 09:27

SaintAmand a écrit:[CENTER][/CENTER]
De l'identité
[CENTER][/CENTER]
on déduit immédiatement que divise .

Je ne comprend pas bien la démo...
J'ai laissé ce que je ne comprend pas.

par **capitaine nuggets** » 31 Juil 2012, 10:10

Salut !

Hé bien :

Cette identité s'obtient en effectuant une conjecture puis en la démontrant par récurrence.

;

;
etc ...

par **Flywer** » 31 Juil 2012, 19:46

Eumh... Si on développe ta deuxième ligne, ça ne fonctionne pas ?

par **Arnaud-29-31** » 31 Juil 2012, 20:51

Bonsoir,

Si tu as un polynôme P de degré n et que tu le factorise "au maximum",
tu obtiens

Si

est une racine, alors

ce qui signifie que

ou

ou .... ou

Notre

est donc égal à l'un des

on a donc un des facteurs qui est forcement

.

J'espère que ca t'aide à y voir plus clair.

par **Flywer** » 31 Juil 2012, 21:03

En fait je ne vois pas bien à quoi correspondent les a, les alpha sont les racines, mais les a c'est quoi ?

par **SaintAmand** » 31 Juil 2012, 21:36

Flywer a écrit:En fait je ne vois pas bien à quoi correspondent les a, les alpha sont les racines, mais les a c'est quoi ?

Ne sais-tu pas ce que sont les coefficients d'un polynôme ? En quelle classe es-tu ?

par **Flywer** » 31 Juil 2012, 21:48

Coefficients = degrés ?

par **Billball** » 31 Juil 2012, 22:18

Flywer a écrit:Coefficients = degrés ?

bah par ex t'as 8x² + 4x - 2

coeff en x² = 8 et le degré de ton inconnu c'est 2

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