Factorielles

par **theluckyluke** » 13 Juil 2006, 10:39

Bonjour,

j'essaye de regarder un peu des exos et je coince sur deux petites choses, si vous pouviez m'expliquer, ce serait gentil.

tout d'abord : Démontrer par récurrence que, pour tout

, on a

Enfin : On considère la suite (

) définie par

Calculer

,

, c'est fait je trouve respectivement : 1, 1,

, et

Démontrer que la suite est strictement croissante... là je bloque... je ne comprend pas :
Si une suite est croissante, alors

, or ce n'est pas le cas...

Merci pour les explications.
+

par **Nightmare** » 13 Juil 2006, 10:41

Bonjour

Qu'est-ce qui te bloque dans la démonstration par réccurence ?

Ensuite :

Ainsi

(Un) est donc bien strictement croissante.

par **Nightmare** » 13 Juil 2006, 10:45

Sinon tu t'es trompé dans le calcul des termes, tu sembles oublier le signe somme ...

(somme vide)

etc...

par **theluckyluke** » 13 Juil 2006, 10:50

ohlala l'erreur... merci pour les explications

par **theluckyluke** » 13 Juil 2006, 10:51

en fait pour la démonstation par récurrence, je n'arrive à la faire qu'à la façon bourrin, et pas juste je pense.

Je met : k! est strictement croissant et

est aussi croissant, mais avec

, on multiplie ensuite par deux nombres supérieurs à deux. bref... je vois pas trop c'est vrai, c'est nouveau pour moi les notions de factorielles

la démonstration par récurrence, on la voit en terminale? (dasn ce cas, c'est normal que je n'arrive pas encore alors)

par **mathador** » 13 Juil 2006, 11:05

Salut

car

ce qui revient à ce que tu as dit, exprimé avec de belles inégalités, et on a ainsi prouvé l'hérédité (en utilisant l'hypothèse de récurrence pour instaurer la première inégalité)

En effet, la récurrence se fait en Terminale. Voici son principe :

Soit P(n) une propriété dépendant de n un entier naturel
Si a est un entier tel que P(a) est vraie et que, pour tout m> ou =a, P(m) est vraie implique P(m+1) est vraie, alors P est vraie pour tout entier supérieur ou égal à a.

En pratique on utilise a=0 ou a=1 ; on peut aussi avoir des cas où il faut P(m) et P(m-1) vraies pour avoir P(m+1), par exemple.

exemple : pour démontrer ta propriété:

1er pas : la popriété est vraie au rang 1 (se vérifie par un calcul). Ce pas de la démo s'appelle l'initialisation ou l'amorce (je préfère le premier terme !)

2ème pas : supposons la propriété vraie jusqu'au rang n > 1 ; par l'inégalité écrite avant, on voit que la propriété est vraie au rang n+1 ; on dit qu'elle est HEREDITAIRE.

On conclut en vertu du principe de récurrence : la propriété est vrai pour tout entier naturel non nul.

Remarque : on peut aussi supposer P vraie jusqu'au rang n-1 et montrer qu'elle est alors vraie au rang n, c'est exactement pareil.

Voilà, tu verras ça plus en détail plus tard !!!

Amicalement

par **Nightmare** » 13 Juil 2006, 11:06

Je ne vois aucune réccurence dans ton raisonnement :hein:

Connais-tu le principe de réccurence au moins ?

par **theluckyluke** » 13 Juil 2006, 11:09

mathador a écrit:Salut

car

ce qui revient à ce que tu as dit, exprimé avec de belles inégalités, et on a ainsi prouvé l'hérédité (en utilisant l'hypothèse de récurrence pour instaurer la première inégalité)

Amicalemet

ok très bien. Une derniere question, ou plutot vérification...

par **theluckyluke** » 13 Juil 2006, 11:13

Le but est de prouver que la suite (

) est majorée.
Démontrer premierement que :

Ma solution :

-

or d'apres le tru prouvé avant :

on peut dire que

est vrai.

Est-ce cela?

par **mathador** » 13 Juil 2006, 11:15

Tu peux regarder le post n°6 de la convers, que j'ai complété; et l'adresse :
http://www.animath.fr/cours/recurrence.html

Amicalement

par **theluckyluke** » 13 Juil 2006, 11:19

mathador a écrit:Tu peux regarder le post n°6 de la convers, que j'ai complété; et l'adresse :
http://www.animath.fr/cours/recurrence.html

Amicalement

en fait je passe en Term et le raisonnement par récurrence est au programme de Term, donc je m'y attaquerai plus tard, mais c'est normal que je ne le connaisse pas encore.
Merci pour ton lien et tes explications

Est-ce que vous avez des astuces pour pouvoir prouver les choses précédentes (je parle des inéquations avec les sommes etc...) parce que j'ai du mal à manier les sommes dans ce genre d'inégalités et ça me bloque assez vite en fait...

par **mathador** » 13 Juil 2006, 11:25

Il y a mieux : ta somme de 0 à n ; le tout moins 1 ; c'est la somme des mêmes termes, mais de 1 à n (je te laisse vérifier, c'est pas trop difficile : 0! = 1 par convention); après tu as que la différence de deux sommes de 1 à n est égale à la somme de la différence de 1à n (je ne suis pas sûr de me faire comprendre ...)

et avec ce qui a été dit avant, tout va bien ! je te laisse bidouiller un peu :id:

Les astuces : faire bcp d'exos pour ne plus avoir peur !!!! seule méthode !

par **nekros** » 13 Juil 2006, 11:27

Salut,

Pour la démo par récurrence, il faut procéder comme ceci :

Notons

la proposition "

"

Initialisation :

donne

et

donc on a bien

Hérédité : Supposons

vraie, et montrons

par récurrence pour tout

dans

privé de

.

Soit

dans

privé de

.
Comme

est vraie, on a

On a donc

et donc

On a donc

car

pour

Donc

est vraie.
On en déduit donc que

est vraie.

Thomas G :zen:

par **theluckyluke** » 13 Juil 2006, 11:35

mathador a écrit:Il y a mieux : ta somme de 0 à n ; le tout moins 1 ; c'est la somme des mêmes termes, mais de 1 à n (je te laisse vérifier, c'est pas trop difficile : 0! = 1 par convention); après tu as que la différence de deux sommes de 1 à n est égale à la somme de la différence de 1à n (je ne suis pas sûr de me faire comprendre ...)

et avec ce qui a été dit avant, tout va bien ! je te laisse bidouiller un peu :id:

Les astuces : faire bcp d'exos pour ne plus avoir peur !!!! seule méthode !

ok! dsl d'importuner tout le monde, mais j'aimerais être sur de comprendre...
en gros ça donne :

or

donc

est négatif donc la somme sera toujours inférieure à 2... et même à 0 non?

Merci nekros, ça m'aidera beaucoup pour rédiger de la bonne maniere

par **theluckyluke** » 13 Juil 2006, 11:48

Voilà, alors j'ai encore deux trois questions sous la main, mais je vais d'abord continuer à essayer de les résoudre et je vous ferai part ce soir de mes trouvailles (j'espère!) dans ce même topic.
Merci pour toutes vos réponses, c'est super sympa.
a+

par **nekros** » 13 Juil 2006, 11:50

De rien theluckyluke

Attention, c'est

donc

Thomas G :zen:

par **mathador** » 13 Juil 2006, 15:38

Et tu as fait une petite faute (post n°14) : la première étape, partant de

; c'est de soustraire 1 des deux côtés ; puis de faire "passer" la somme des 1/2^(k-1) à gauche ; on obtient donc que ce qu'il faut démontrer est équivalent à :

,
ce qui est vrai d'après ce qu'on a dit avant (somme de termes négatifs).

EDIT : je me rends compte qu'en fait ça équivaut à l'inégalité contraire ... y'a eu une faute à corriger ! Le plus simple, maintenant que tu as l'idée, c'est de refaire l'exo (et d'espérer ne pas refaire l'erreur !)

RE-EDIT : le calcul pour n=3 montre que c'est une erreur d'énoncé, et que notre calcul est tout à notre honneur :++:

par **nekros** » 13 Juil 2006, 21:37

En fait pour montrer que

, on peut le faire sans récurrence.

On a

Pour

, on a :

.
.
.

En multipliant chaque inégalité, on obtient

Thomas G :zen:

par **aviateurpilot** » 13 Juil 2006, 23:23

dans l'intervalle

les nombre sont

alors le produit de ces nombre

alors si

(*)
dans ce cas de

vous avez utilisez le fait que

dans la relation (*)

par **theluckyluke** » 14 Juil 2006, 12:54

bon, alors je me met un peu à la démonstration par récurrence pour pouvoir mieux comprendre la suite.

Encore merci.
PS: je reviendrai sur ce topic pour les dernières petites questions.

+

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