Ts : factorielle et nombres consécutifs

par **Sirdec** » 20 Sep 2006, 16:18

Bonjour !! Je vous présente mes exos .....

Exo 1 :
1) Expliquer pourquoi 10! se termine par deux zéros.
2) Par combien de zéros 100! se termine-t-il ?

Pour celui là j'ai cherché un moment mais je n'ai abouti nul part .....

Exo 2 :
1) Démontrer que le produit de p nombres consécutis est toujours le multiple de p.
2) Démontrer que le produit de p nombres consécutis est toujours le multiple de p!.
3) En déduire que (2n)!/(n!)² est toujours un entier.

Celui là pareil j'arrive à (2n+p-1)puissance p/2 mais ensuite je vois pas ce qu'il faut faire ....

Donc si certain veulent me donner un coup de main, il sera le bienvenu !
En fait j'aurais juste besoin que l'on me mette sur la piste (comme sa je peux essayer de le faire presque seul ^^).

par **zebdebda** » 20 Sep 2006, 16:21

Sirdec a écrit:Bonjour !!

Exo 1 :
1) Expliquer pourquoi 10! se termine par deux zéros.

Montre que c'est un multiple de 100...

par **Sirdec** » 20 Sep 2006, 16:23

10! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10
2*5*10=100
Donc 10! est un multiple de 100 ...... sa suffit pour expliquer qu'il se termine par deux zéros (et non par trois zéros par exemple ?) ?

par **Flodelarab** » 20 Sep 2006, 16:35

Sirdec a écrit:10! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10
2*5*10=100
Donc 10! est un multiple de 100 ...... sa suffit pour expliquer qu'il se termine par deux zéros (et non par trois zéros par exemple ?) ?

S'il se termine par 3 zéros alors, il se termine par 2 zéros .....

par **Sirdec** » 20 Sep 2006, 16:39

Ah oui bien sur vu comme sa.
Merci bien sa me fait donc une réponse, par contre pour 100! comment je peux faire pour connaitre le nombre de zéro ?

par **Flodelarab** » 20 Sep 2006, 16:43

Sirdec a écrit:Ah oui bien sur vu comme sa.
Merci bien sa me fait donc une réponse, par contre pour 100! comment je peux faire pour connaitre le nombre de zéro ?

Si un nombre se termine par 0, alors, il est multiple de 5.
Comme des 2, on en a a profusion (tous les nombres pairs), 5 est le facteur limitant.

Compte le nombre de facteurs 5 qu'il y a dans 100! et tu auras le nombre de 0

par **Sirdec** » 20 Sep 2006, 16:50

Ok
Sa me donne 22 zéros (car 20*50=1000) ....
Mais je vois sur un autre forum 24 ..... sauf que je comprend pas trés bien la démonstration :

Pour déterminer le nombre de 0, je présume, à la fin de 100! en écriture en
base 10, il suffit d'utiliser la décomposition de 100! en facteurs premiers
et remarquer que cette décomposition est de la forme:

100! = 2^n * 5^k * N , (2^n est 2 "puissance n", 5^k est 5 "puissance k et
N premier avec 2 et 5).

On remarque alors que l'on doit avoir k < n et que le nombre de 0 finissant
100! est k.
Comme :
100! = (5*10*15*...100) * P (P produit des entiers < 100 non multiples de 5)
= 5^20*(1*2*3*...*20)*P
= 5^20*(5^4)*(1*2*3*4*1*6*7*8*9*2*11*12*13*14*3*16*17*18*19*4)*P
(en mettant 5 en facteur)
= 5^24*(1*2*3*4*2*....)*P
on en déduit que le nombre de 0 de 100! est 24.

par **Flodelarab** » 20 Sep 2006, 16:56

Sirdec a écrit:Ok
Sa me donne 22 zéros (car 20*50=1000) ....
Mais je vois sur un autre forum 24 ..... sauf que je comprend pas trés bien la démonstration :

c tout simple.
Le 5 apparait 1 fois dans les multiple de 5 et 1 fois supplémentaire dans les multiples de 25 et encore une fois de plus dans les multiples de 125 et une fois encore dans les multiples de 625 .... mais je suis deja aller trop loin.

Comptons le nombre de nombres concernés.

par **Sirdec** » 20 Sep 2006, 17:01

Flodelarab a écrit:c tout simple.
Le 5 apparait 1 fois dans les multiple de 5 et 1 fois supplémentaire dans les multiples de 25 et encore une fois de plus dans les multiples de 125 et une fois encore dans les multiples de 625 .... mais je suis deja aller trop loin.

Comptons le nombre de nombres concernés.

Je ne comprend pas trés bien ... tu pourrais être plus clair (ou me faire un exemple) stp ?

par **Flodelarab** » 20 Sep 2006, 17:05

Sirdec a écrit:Je ne comprend pas trés bien ... tu pourrais être plus clair (ou me faire un exemple) stp ?

on compte les 5.
Il apparait 1 fois dans 5, 1 fois dans 10... mais 2 fois dans 25 et 2 fois dans 50!!!!

ok?

par **Sirdec** » 20 Sep 2006, 17:14

Ah oui j'avais oublié 25 ....
J'en compte que 23 ^^'
5 10 15 20 25(5*5) 30 35 40 45 50(5*5*2) 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

par **Flodelarab** » 20 Sep 2006, 17:17

Sirdec a écrit:Ah oui j'avais oublié 25 ....
J'en compte que 23 ^^'
5 10 15 20 25(5*5) 30 35 40 45 50(5*5*2) 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

t'en a encore oublié

Le 5 apparait 1 fois dans les multiple de 5 et 1 fois supplémentaire dans les multiples de 25 et encore une fois de plus dans les multiples de 125 et une fois encore dans les multiples de 625 .... mais je suis deja aller trop loin.

par **Sirdec** » 20 Sep 2006, 17:23

Ah mais oui il y a 75(5*5*3) aussi !!
En fait donc c'était simple (mais il faudra que je fasse plus attention a mes mutiples ^^').
Merci de m'avoir aidé !

Exo 2 :
1) Démontrer que le produit de p nombres consécutis est toujours le multiple de p.
2) Démontrer que le produit de p nombres consécutis est toujours le multiple de p!.
3) En déduire que (2n)!/(n!)² est toujours un entier.

Il reste celui là maintenant ... j'écris la démonstation du premier exo et je me relance dans celui là (mais toute aide pour me mettre sur la voie de la réponse sera la bienvenu car j'ai déja cherché auparavent).

par **Flodelarab** » 20 Sep 2006, 17:35

Sirdec a écrit:Ah mais oui il y a 75(5*5*3) aussi !!
En fait donc c'était simple (mais il faudra que je fasse plus attention a mes mutiples ^^').
Merci de m'avoir aidé !

Il reste celui là maintenant ... j'écris la démonstation du premier exo et je me relance dans celui là (mais toute aide pour me mettre sur la voie de la réponse sera la bienvenu car j'ai déja cherché auparavent).

Moi, je serais toi, je ferais la division Euclidienne de ton produit par p. Et je discuterais sur le reste.

par **Sirdec** » 20 Sep 2006, 17:56

Flodelarab a écrit:Moi, je serais toi, je ferais la division Euclidienne de ton produit par p. Et je discuterais sur le reste.

C'est à dire ? (la division euclidienne de ce que j'ai trouvé par p ou juste du produit lui même ?)

par **Flodelarab** » 20 Sep 2006, 18:03

Sirdec a écrit:C'est à dire ? (la division euclidienne de ce que j'ai trouvé par p ou juste du produit lui même ?)

Comme je sais pas "ce que tu as trouvé", je ne peux pas t'aider.

par **Sirdec** » 20 Sep 2006, 18:05

Oh pardon je l'ai mis dans le premier post mais je ne l'ai pas recité : j'arrive à (2n+p-1)puissance p/2 mais ensuite je vois pas ce qu'il faut faire .... En plus je ne suis pas sur que ce soit juste.

par **Flodelarab** » 20 Sep 2006, 18:09

Sirdec a écrit:Oh pardon je l'ai mis dans le premier post mais je ne l'ai pas recité : j'arrive à (2n+p-1)puissance p/2 mais ensuite je vois pas ce qu'il faut faire .... En plus je ne suis pas sur que ce soit juste.

Donc ça repond a ta question. Tu sais de koi il faut faire la dision euclidienne.

par **Sirdec** » 20 Sep 2006, 18:11

Flodelarab a écrit:Donc ça repond a ta question. Tu sais de koi il faut faire la dision euclidienne.

Ok je vais essayer.

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