Expressions littérales, factorisation et développement

[Paolo]

Bonsoir,
Je viens de rentrer en 2nde et j'ai un devoir pour lequel 2 exercices, sur une longue série, me posent problème et ce, malgré mes recherches ...
J'ai repris mes cours de 3ème mais je ne trouve pas de solution ni de piste.
Les 2 exercices en question sont les suivants

- Démontrer que pour tout entier naturel n>=1, le nombre ncube -n est le produit de 3 nombres entiers naturels à préciser

- Prouver les égalités suivantes

1/(√2+1) = √2-1

1/((√n+1)-√n) = (√n+1)+√n (ici n+1sont tous sous la barre de la racine)

1/√5-1 = √5+1/4

Pourriez-vous m'aider à décrypter et à avancer svp ?

Merci à tous (malgré l'heure tardive ... )

[Lostounet]

Salut,

Tu dois en fait prouver que n^3-n peut être écrit comme produit de facteurs: cela laisse entendre...une factorisation!
Déjà il y a un facteur commun ! tu dois prendre n en facteur.. puis utiliser une identité remarquable. Vois-tu laquelle?


Concernant ton 1/(√2+1) tu dois multiplier la fraction par (√2-1) / (√2-1)
(c'est toujours la même astuce). Cela ne change pas la valeur de la fraction car c'est comme si tu l'as multipliée par 1. Par contre cela permet de chasser la racine carrée du dénominateur (utilise a^2-b^2=(a+b)(a-b))

Toutes les autres questions se résolvent par cette méthode. Pour t'aider encore plus si tu veux chercher des exemples sur Google: il s'agit de "rendre rationnel le dénominateur".

[Paolo]

Bonsoir !
Merci pour le coup de main !

Pour le 1er, je cale .... brouillard complet ! n(n²-1) ?

Pour le 2eme

1(√2-1) / (√2+1)(√2-1) = √2-1 / √2²-√2+√2-1

Est ce que j'avance ?

[Lostounet]

Bonsoir !
Merci pour le coup de main !

Pour le 1er, je cale .... brouillard complet ! n(n²-1) ?

Pour le 2eme

1(√2-1) / (√2+1)(√2-1) = √2-1 / √2²-√2+√2-1

Est ce que j'avance ?

Salut
Oui, n^3-n = n(n^2-1).
Mais ce n'est pas fini: n^2-1 = n^2-1^2
de la forme a^2-b^2. Or ceci est une identité remarquable!

Pour la deuxième oui continue. C'est bien

[Paolo]

ok pour le sujet 2

on aura 1(√2-1) / (√2+1)(√2-1) = √2-1 / 2-√2+√2-1 = √2-1 / 1 = √2-1

[Lostounet]

Une remarque: certes tu as bien fait le calcul mais le problème est que tu as utilisé (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (la double distributivité). Donc au fond tu n'as pas dû comprendre le miracle qui a eu lieu.

En fait, ce n'est pas un miracle: quand tu as (a+b)(a-b)=a*a - ab + ab - b^2 = a^2-b^2

Du coup (√2+1)(√2-1) est de la forme (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 avec a = (√2) et b=1. Donc a^2-b^2= 2-1=1
L'astuce reponse en fait sur le fait de multiplier (a-b) qui est en bas par (a+ b) ce qui fait apparaitre a^2-b^2. Et cela permet de chasser les racines en les élevant au carrè.

Comprends-tu mieux l'astuce?

[Paolo]

Si je prends le 2eme exemple cela donnerait

1/((√n+1)-√n) = (√n+1)+√n (ici n+1sont tous sous la barre de la racine)
(1/((√n+1)-√n) ) ((√n+1)+√n ) (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 avec a = (√2) et b=1. Donc a^2-b^2= 2-1=1
((√n+1)+√n) /((√n+1) -√n )) ((√n+1)+√n) /((√n+1) +√n ) = (√n+1) +√n / n+1-n et après je simplifie au niveau du dénominateur pour obtenir 1/((√n+1)-√n) = (√n+1)+√n

[Paolo]

Salut,

Tu dois en fait prouver que n^3-n peut être écrit comme produit de facteurs: cela laisse entendre...une factorisation!
Déjà il y a un facteur commun ! tu dois prendre n en facteur.. puis utiliser une identité remarquable. Vois-tu laquelle?


Concernant ton 1/(√2+1) tu dois multiplier la fraction par (√2-1) / (√2-1)
(c'est toujours la même astuce). Cela ne change pas la valeur de la fraction car c'est comme si tu l'as multipliée par 1. Par contre cela permet de chasser la racine carrée du dénominateur (utilise a^2-b^2=(a+b)(a-b))

Toutes les autres questions se résolvent par cette méthode. Pour t'aider encore plus si tu veux chercher des exemples sur Google: il s'agit de "rendre rationnel le dénominateur".

Top ! Je viens de comprendre tes explications avec l'aide supplémentaire apportée dans les exemples !
Un très grand merci !!!!!