Expressions constante à démontrer de manière directe ou après calcul de la dérivée

[dadaclecle]

Bonsoir,
On me demande de vérifier que les expressions suivantes sont constantes, par un calcul direct, puis par le calcul de la dérivée:

( sinx) puissance 6 + (cosx)puissance 6 + (sinx)puissance4 (cosx)puissance4 + 5sin²x.cos²x

et deuxième expression

(sinx)puissance 8 + (cosx)puissance8 + 4sin²x.cos²x - 2(sinx)puissance4.(cosx) puissance4

Par le calcul direct, je ne sais pas par où commencer . Faut-il supposer que quelque soit x1 et x2 on a une égalité ... faut-il commencer par des transformations ?
Je sais calculer la dérivée de ces expressions ( trop long à écrire ici avec le peu de moyen d'écriture dont je dispose...) et après je rencontre le même problème pour montrer que ces dévirées sont nulles!
Merci pour votre aide
Cordialement

[zygomatique]

salut

un exemple de transformation ....

[siger]

bonsoir

commence par tout ecrire en fonction d'une seule fonction trigonométrique
sinx^6 + (1-sinx^2)^3 + sinx^4 + (1-sinx^2)^2 + 5sinx^2(1-sinx^2)
par exemple
.....

[zygomatique]

:ptdr:

[dadaclecle]

salut

un exemple de transformation ....

donc sin^6x + cos^6x + 1 + 3sin^2cos^2 et je suis encore bloqué !

[dadaclecle]

bonsoir

commence par tout ecrire en fonction d'une seule fonction trigonométrique
sinx^6 + (1-sinx^2)^3 + sinx^4 + (1-sinx^2)^2 + 5sinx^2(1-sinx^2)
par exemple
.....

Merci donc je trouve:
3sin^4 - 5 sin^3x - 5sin^2x + 5sinx +2 et après je ne sais pas quoi en faire de cette expression !

[dadaclecle]

:ptdr:

oui il fallait donc voir la différence de deux carrés dans l’expression (cos^4x - sin^4x)² avec cos²x + sin²x =1.
Merci beaucoup

[chan79]

une variante

Développe:

(cos²x+sin²x)³=

(cos²x+sin²x)²=

En ajoutant, tu as vite la réponse

PS il manque un signe + dans ta première expression

[Pisigma]

donc sin^6x + cos^6x + 1 + 3sin^2cos^2 et je suis encore bloqué !

Bonsoir,

[siger]

Re

Merci donc je trouve:
3sin^4 - 5 sin^3x - 5sin^2x + 5sinx +2 et après je ne sais pas quoi en faire de cette expression !

sinx^6 + (1-sinx^2)^3 + sinx^4 + (1-sinx^2)^2 + 5sinx^2(1-sinx^2)
= sinx^6+ (1-3sinx^2+3sinx^4 - sinx^6) + sinx^4 + (1- 2sinx^2 +sinx^4) +5sinx^2-5sinx^4) = 2

[dadaclecle]

Re


sinx^6 + (1-sinx^2)^3 + sinx^4 + (1-sinx^2)^2 + 5sinx^2(1-sinx^2)
= sinx^6+ (1-3sinx^2+3sinx^4 - sinx^6) + sinx^4 + (1- 2sinx^2 +sinx^4) +5sinx^2-5sinx^4) = 2

Il suffisait donc de développer ... Merci beaucoup.