[TS] Exponentielle

[Anonyme]

Bonjour.

Voici une question qui fait parti d'un devoir ayant pour but de déterminer
les propriétés de la fonction exponentielle, et sur laquelle je bloque
depuis pas mal de temps :

"Soit r = p/q un rationnel (p appartient à Z, q appartient à N*).

Démontrer que quelque soit r appartenant à Q, et quelque soit a appartenant
à R :
f(ra)=[f(a)]^r"

J'ai démontré dans des questions antérieures que :

- quelque soit n appartenant à N, f(na)=[f(a)]^n.
- quelque soit n appartenant à Z, f(na)=[f(a)]^n.

Donc pour la question qui me bloque, j'ai commencé par exemple comme ça :

[f(a)]^r
= [f(a)]^(p/q)
= [f(pa)]^(1/q)

ou

f(ra)
= f(pa/q)
= f(a/q)^p

Mais à partir de là..

Quelqu'un aurait une petite idée svp ?
Merci d'avance..

++.

[Anonyme]

Bonjour,

Yakumo écrivait :
> Démontrer que [...] f(ra)=[f(a)]^r
> [...] quelque soit n appartenant à Z, f(na)=[f(a)]^n.

Quelle définition as-tu de [f(a)]^r ?
Connais-tu la définiton x^y = exp(y*ln(x)) ?

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Michel wrote in news:XnF9418722AB7932michel@
193.252.19.141:

> Bonjour,
>
>
> Quelle définition as-tu de [f(a)]^r ?
> Connais-tu la définiton x^y = exp(y*ln(x)) ?

Le cours sur la fonction exponentielle n'a pas été fait (et on a pas encore
fait la fonction log). C'est pour préparer au cours en quelque sorte.
Par contre, j'ai oublié de bien préciser ce qu'on sait ou ce qu'on a déjà
montré :

- l'énoncé en introduction précise : "On se propose de déterminer les
fonctions f définies, continues sur R, et qui vérifient : quelque soit
(x,y) appartenant à R², f(x+y)=f(x)*f(y)".

- on a montré : f(0)=1.

- on a montré : quelque soit x appartenant à R, f(x)>0.

- on a montré : quelque soit a appartenant à R, et quelque soit n
appartenant à N : f(na)=[f(a)]^n.

- on a montré : quelque soit a appartenant à R, et quelque soit n
appartenant à Z : f(na)=[f(a)]^n.

Voilà tout ce qu'on sait pour traiter cette question.

[Anonyme]

Le Sat, 18 Oct 2003 09:47:46 +0000, Yakumo a écrit :
[color=green]
>> Quelle définition as-tu de [f(a)]^r ?
>> Connais-tu la définiton x^y = exp(y*ln(x)) ?[/color]

> Voilà tout ce qu'on sait pour traiter cette question.

Et comment le devoir définit la puissance à un exposant rationnel ?

nicolas patrois : pts noir asocial
--
GLOU-GLOU

P : Ouerk ! C'est dégueulasse, j'ai bu la tasse !
M : Panique pas... La mer est pleine de microbes, mais tellement dilués qu'ils sont inoffensifs...
P : C'est ça... La mer, c'est de la merde homéopathique !

[Anonyme]

nicolas wrote in
news:pan.2003.10.18.09.52.14.296684@online.fr:

> Le Sat, 18 Oct 2003 09:47:46 +0000, Yakumo a écrit :
>[color=green][color=darkred]
>>> Quelle définition as-tu de [f(a)]^r ?
>>> Connais-tu la définiton x^y = exp(y*ln(x)) ?[/color]
>
>> Voilà tout ce qu'on sait pour traiter cette question.
>
> Et comment le devoir définit la puissance à un exposant rationnel ?
>
> nicolas patrois : pts noir asocial[/color]

Ben le devoir il dit ni plus ni moins que je vous ai déjà indiqué.
Je comprends pas trop vos histoires de définition en fait, si vous pouviez
m'expliquer..

[Anonyme]

Bonjour,

Yakumo écrivait :
> Ben le devoir il dit ni plus ni moins que je vous ai déjà indiqué.
> Je comprends pas trop vos histoires de définition en fait, si vous
> pouviez m'expliquer..

Pour définir x^n avec n un naturel, tu savais ce que ça voulait dire jusque
là :
x^n = x*x*x*x*x...
avec n facteurs x.
Si n est dans Z, on prend l'inverse du produit, avec cette fois -n
facteurs.

Avec exponentielle et logarithme népérien, on peut généraliser une
définition de la puissance d'un réel positif, avec n'importe quel réel.
x^a, où a est un réel.
On a une formule de définition x^a = exp(a*ln(x))
Cette définition est compatible avec celle qu'on avait avec un exposant
naturel n.

Donc, je dirais que à partir du moment où tu ne sais pas définir x^(p/q),
tu ne peux pas répondre à la question parce qu'elle n'a aucun sens.
C'est sûrement une erreur de ton prof.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Michel wrote in
news:XnF9418858596F0Dmichel@193.252.19.141:

> Bonjour,
>
> Donc, je dirais que à partir du moment où tu ne sais pas définir
> x^(p/q), tu ne peux pas répondre à la question parce qu'elle n'a aucun
> sens. C'est sûrement une erreur de ton prof.
>

Hum, je vois maintenant :]..
Et bien, merci pour toutes vos réponses.

[Anonyme]

On 2003-10-18, Yakumo wrote:
> Bonjour.
[SNIP]
> "Soit r = p/q un rationnel (p appartient à Z, q appartient à N*).
>
> Démontrer que quelque soit r appartenant à Q, et quelque soit a appartenant
> à R :
> f(ra)=[f(a)]^r"
[SNIP]
> Donc pour la question qui me bloque, j'ai commencé par exemple comme ça :
>
> [f(a)]^r
>= [f(a)]^(p/q)
>= [f(pa)]^(1/q)
>
> ou
>
> f(ra)
>= f(pa/q)
>= f(a/q)^p
>
> Mais à partir de là..
>
> Quelqu'un aurait une petite idée svp ?
> Merci d'avance..

Salut,

r=p/q
f(q*p/q*a)=f(p/q*a)^q car q dans N*
D'où f(pa)^(1/q)=f(p/q*a) (f(pa)^(1/q) est la racine q-ième de f(pa))
Donc f(a)^(p/q)=f(p/q*a) car p dans Z
Que l'on peut écrire f(a)^r=f(ra)

C'est en fait vrai aussi pour r dans R:
On utilise la continuité de f et une suite "sympathique"...

--
Enlevez pasde, pub et .invalid de mon adresse e-mail.
Tutoriel Slrn: http://perso.wanadoo.fr/vincent.couquiaud/slrn.html

[Anonyme]

Shlaf écrivait :
> r=p/q
> f(q*p/q*a)=f(p/q*a)^q car q dans N*
> D'où f(pa)^(1/q)=f(p/q*a) (f(pa)^(1/q) est la racine q-ième de f(pa))
> Donc f(a)^(p/q)=f(p/q*a) car p dans Z

Ca utilise la définition de la puissance avec exp...
(Racine n-ième et règle (x^a)^b = x^(ab) )

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

On 2003-10-18, Michel wrote:
> Shlaf écrivait :[color=green]
>> r=p/q
>> f(q*p/q*a)=f(p/q*a)^q car q dans N*
>> D'où f(pa)^(1/q)=f(p/q*a) (f(pa)^(1/q) est la racine q-ième de f(pa))
>> Donc f(a)^(p/q)=f(p/q*a) car p dans Z
>
> Ca utilise la définition de la puissance avec exp...
> (Racine n-ième et règle (x^a)^b = x^(ab) )[/color]

C'est (f(pa)^(1/q))^p=f(a)^(p/q) qui te gêne?
Si ça te gêne, je pose par définition:
(x^(1/q))^p=x^(p/q)
J'ai raison de faire ça?

--
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[Anonyme]

Shlaf écrivait :

> Si ça te gêne, je pose par définition:
> (x^(1/q))^p=x^(p/q)
> J'ai raison de faire ça?

Si c'est la même définition que sous-entend l'énoncé.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Yakumo a écrit

> - on a montré : quelque soit a appartenant à R, et quelque soit n
> appartenant à Z : f(na)=[f(a)]^n.

Donc [(f(a*n/q)]^q = f(a*n) = f(a)^n

C'est à dire f(a*n/q) = racine qième de f(a)^n,
ou (racine qième de f(a))^n

ce qui se note par convention (pour l'instant) :
f(a*n/q) = [f(a)]^(n/q).

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr