Exponentielle

[rocco]

Bonjour, je suis élève de terminale S et pour les vacances ma prof m'a donné un DM concernant l'exponentielle qu'on vient juste de faire en classe et on a pas encore vu le logarithme donc j'ai du mal à faire mon DM même si on a pas besoin du logarithme dans toutes les questions.
Pourriez vous m'aider s'il vous plait.

On considère la fonction numérique g définie sur [0;1] par:
g(t)=(1-e(puissance -t)) ln t pour 0 g(0)=0
(ln désignant le logarithme népérien).

1. Démontrer que la limite quand t tend vers 0 de [1-e(puissance -t)]/t = 1


2.Démontrer que g est continue sur [0;1]. Etudier la dérivabilité de g sur [0;1] et démontrer que pour tout réel t de ]0;1]:

g'(t)= e(puissance -t)/t (t ln t+e(puissance t)-1)


3.Soit la fonction numérique f définie sur ]0;1] par f(t)= t ln t+e(puissance t)-1. Etudier le sens de variation et les valeurs aux bornes de f'. Montrer que f' s'annule une seule fois sur l'intervalle ]0;1] en un point t0 (on no calculera pas t0).
En déduire le signe de f'(t) et le sens de variation de f sur ]0;1] pour une valeur t1 (on ne calcuera pas t1).


4.Terminer l'étude de la fonction g. Tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé (unité 6cm. On tracera la tangente à la courbe au point d'abscisse 0. On admettra que t=0.31

J'ai juste fait la question n°1.

Pourriez vous m'aider s'il vous plait.

[LED]

Bonsoir,
Question 2, G est continue sauf en x = 0. Or g(x) peut s'écrire (1-e(-t))/t *t*lnt
Or (1-e(-t))/t tend vers 1 (question 1) et t*lnt tend vers 0.donc g tend vers 0. donc g est continue en 0.
Pour la dérivabilité en 0, il faut calculer g(x)-g(0)/x
on trouve, (1-e(-t))/t * lnt, la 1ère partie tend vers1 et lnt tend vers -inf donc lim (g(x)-g(0)/x = -inf, donc non dérivable en 0
Question 3, il faut dériver.
Pour montrer que f' s'annule une seule fois, il faut utiliser la bijection (enfin je pense).
Bon courage.

[rocco]

Merci beaucoup pour ton aide, je pense que je vais m'en sortir.
:ptdr: