Dm exponentielle * je ne m'en sort pas*

[texane11]

Bonjour à tous,
J'ai un DM de maths à faire pour lundi prochain et je dois vous avouer que je galère un peu :/
Voici l'énoncé:

Soit f la fonction numérique définie sur [0 ;5] par :
F(x)= 0,5x + e(-0,5x+1)
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O ;i ;j)
Unités graphiques : 4cm sur l'axe des abscisses et 8cm sur l'axe des ordonnées.

1°. a) Résoudre dans [0 ;5] l'équation 1- e(-0,5x+1)=0b) Résoudre dans [0 ;5] l'inéquation 1- e(-0,5x+1);)0

2°. Calculer f'(x). A l'aide de la question précédente, étudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variation de f sur [0 ;5]

3° recopier et compléter le tableau suivant: (les valeurs de f(x) seront données par leurs approximations décimales arrondies au centième
x 0---- 1---- 2[COLOR=White]----[/COLOR] 3---- 4---- 5
________________________________
f(x)


B) Application économique :
Une entreprise fabrique des objets à l'aide de machines-outils. Le coût total de production est donné par la fonction f précédente où x est exprimé en centaines d'objets ( 2 x 5 ) et f(x) est exprimé en milliers d'euros.

1°. Quel nombre d'objets faut-il produire pour que le coût total de production soit minimum ?

2°. Un objet fabriqué est vendu 6 euros pièce.
a) Calculer le bénéfice B(x), en milliers d'euros, obtenu par la vente de x centaines d'objets.
b) Etudier les variations de B dans [2 ;5] et dresser son tableau de variation.

3°. a: démontrer que l'équation B(x)=0 admet une solution alfa et une seule dans [0;5]

b: expliquer pourquoi 3.888 <alfa<3.889

c: en déduire le nombre minimal d'objet à produire pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif sur la vente des objets.

Où j'en suis:
j'ai fait la question 1/a et 1/b où je trouve respéctivement 0.5x+1 et 2<ou égale à x

A la question sur la dérivée je trouve 0.5*((-0.5)+e^(-0.5x+1)) mais je ne suis pas sur ...

Quelqu'un peut il m'aider svp?

[Ixe]

Et t'en est où?

EDIT : j'vais voir demain ^^

[texane11]

J'en suis à la question sur la dérivée la 2 :/
Pourriez vous me dire c'est ma dérivée est correcte svp?

[Cheche]

1°. a) Résoudre dans [0 ;5] l'équation 1- e(-0,5x+1)=0
b) Résoudre dans [0 ;5] l'inéquation 1- e(-0,5x+1);)0


Tu trouves pour la question 1.a, 0.5x+1 ???!!
Je ne comprends ta réponse.

[Carpate]

J'en suis à la question sur la dérivée la 2 :/
Pourriez vous me dire c'est ma dérivée est correcte svp?

F(x)= 0,5x + e(-0,5x+1)

est du signe de que tu as étudié à la question précédentr.

[texane11]

en fait, j'ai fait:

e^0=e^(-0.5x+1)
<=> 0=-0.5x+1
je me suis arretée là mais si je continue ca donne:
x=0.5+1
x=0.5

c'est ca? :)

[texane11]

Carpate, je ne comprends pas pourquoi on enlève le x de 0.5x pour la partie e^u

[Carpate]

en fait, j'ai fait:

e^0=e^(-0.5x+1)
0=-0.5x+1
je me suis arretée là mais si je continue ca donne:
x=0.5+1
x=0.5

c'est ca?

Non c'est bon jusqu'à 0=-0.5x+1

[texane11]

du coup,je m'arrte au 0=-0.5x+1?

[Cheche]

Non, cherches la valeur de x qui vérifie 0 = -0.5 * x + 1
car si je prends x = 0.5, j'obtiens -0.5 * 0.5 + 1 = - 0.25 + 1 = 0.75 (qui n'est pas égale à 0).

[texane11]

Donc 2? :)

[Cheche]

C'est mieux :)


1.b ) Résoudre dans [0 ;5] l'inéquation 1- e(-0,5x+1);)0

Tu as répondu : 2 ;) x (parfait :) )

2) Calculer f'(x) sachant que f(x) = 0,5x + exp(-0,5x+1)

Tu as trouvé : f'(x) = 0.5 * ( (-0.5) + exp(-0.5x+1) ).

Faux

[texane11]

je ne vois pas mon erreur sur la dérivée:/

J'ai utilisé cette formule pourtant: e^u=u'*e^u
Et u' c'est 0.5
et e^u c'est f(x) non?

[Cheche]

- Dans ta formulle : e^u=u'*e^u (qui est vraie), tu utilises : u(x) = .... ?

[texane11]

En fait, je crois que j'ai compris:
la dérivée (e^u) ne sert que pour le e^(-0.5x+1) non?
ce qui donne :

u=0.5x+1
u'=-0.5

d'où: -0.5*(e^(-0.5x+1))

mais après, il reste le 0.5 x ... Comment faire?

[Cheche]

Tu commences à comprendre :):), c'est cool.

Attention : u(x) = - 0.5x + 1 => u'(x) = -0.5

Sinon v(x) = 0.5 x => v'(x) = 0.5.

f(x) = v(x) + exp (u(x)) => f'(x) = v'(x) + u'(x) * exp (u(x)).

La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.

[texane11]

ca donne donc: 0.5+(-0.5*(e^(-0.5x+1)))

est-ce correct?

[Cheche]

oui et avec une petite factorisarion par 0.5 ?

f'(x) = 0.5 * ( 1 - exp (1 - 0.5 x) )

L'expression me fait penser à la question 1 comme de par le hazard xDxD

[texane11]

Du coup on doit se servir de la 1 pour le tableau non?
Ce qui traduirait le fait que la fonction f admet un maximum en 2 donc positive puis négative non? :id:

Parcontre j'ai juste un petit problème, je ne sais pas comment trouver les racines pour le tableau de signe :/ Déj)à au extremum on met l'intervalle donc 0 et 5 . Moi le au milieu j'en ai aucune idée ... :/

[Cheche]

Alors :

f(x) = 0,5x + exp(-0,5x+1)
f'(x) = 0.5 * ( 1 - exp (1 - 0.5 x) )

L'inéquation "1- e(-0,5x+1);)0" a pour solution : "2 ;) x" => f est croissante sur [ 2 ; 5 ]

Et de la même manière, f est décroissante sur [0 ; 2].

À partir de là, tu peux remplir facilement le tableau de variation de f sur [0 ; 5] (comme tu l'as vu en cours).