DM exponentielle et logarithme

par **milkshaak** » 29 Déc 2010, 15:20

Bonjour un soucis avec mon DM , je n'arrive même pas le début --'. Pouvez-vous m'aider?

La fonction f est définie sur R par f(x)=e^x - e^(x/2)

Partie A:
1. Déterminer les variations de f et ses limites en -infini et +infini
Bon déjà je bloque au variation. Je sais qu'il faut calculer la dérivée. Je trouve:
f'(x)=e^x - (1/2) e^(x/2)
mais je bloque là. je sais que la fonction expo est strict croissant mais bon faut mieux expliquer que ca je pense..

2. Déterminer le signe de f(x) en fonction de x

le reste de la partie A c'est graphiquement ca ne devrait pas me poser de problème avec la calculatrice.

Partie B:

g(x)= ln ( e^x - e^(x/2) ) --> Vous l'aurez compris c'est enfaite ln ( f(x) )

1. Préciser les limites de g en 0 et +infini
2. Calculer g'(x) et déterminer le signe de g'(x) en utilisant le signe de f'(x) et le signe de f(x).
3. Démontrer que, pour tout réel x strict positif , g(x)-x = ln ( 1-e^(-x/2) )

Merci pour vos futures réponses

par **Mortelune** » 29 Déc 2010, 15:47

Bonjour, pour la partie A première question tu as peut être une intuition sur le signe de f' ?
Pour le montrer tu peux essayer de factoriser par (1/2) e^(x/2) par exemple.
Pour la limite en -

ça doit pas te poser de problème, pour celle en +

par contre factorise comme pour le signe de la dérivée, ça marche bien.

Pour le 2) avec le 1) ça doit y aller tout seul.

Pour la partie B,
La première question c'est de la composition de limite donc rien de méchant. La seconde c'est la dérivée d'une composée, même chose que la 1). Et la dernière question ça va encore se résumer à une factorisation avec une pincée de propriété de la fonction ln sur les opérations.

par **milkshaak** » 29 Déc 2010, 17:37

En effet j'ai trouvé pour la 1, enfaite j'ai factorisé ca va tout seul après ;)
Voilà ce que j'ai trouvé
f'(x)=e^(x/2) (e^(x/2) - (1/2))

Ensuite on cherche les variations:
Soit e^(x/2)=0 ---> impossible car fonction exp n'atteind pas zéro
soit (e^(x/2) - (1/2))=0
ce qui donne :
e^(x/2) = 1/2
ln e^(x/2)= ln (1/2)
x/2 = ln (1/2)
x= 2 ln (1/2)

Ensuite pour la 2 ca me parait trop simple, j'ai juste dis:
Lorsque x>2ln (1/2) f(x)>0
Lorsque x<2ln (1/2) f(x)<0.
Lorsque x=2ln (1/2) f(x)=0

C'est ca?

par **XENSECP** » 29 Déc 2010, 17:44

milkshaak a écrit:

Ensuite pour la 2 ca me parait trop simple, j'ai juste dis:
Lorsque x>2ln (1/2) f(x)>0
Lorsque x<2ln (1/2) f(x)<0.
Lorsque x=2ln (1/2) f(x)=0

C'est ca?

Attention tu confonds f(x) et f'(x) là.

Fais le tableau de variations complet (avec les limites) et

.

Normalement tu devrais voir sur quel intervalle f(x) s'annule et donc le signe sur R.

Sinon tu peux factoriser

en sachant les variations de l'exponentielle.

par **milkshaak** » 29 Déc 2010, 18:47

Ah oui mince j'me suis mélangé les pinceaux...
Bon alors ca donne ca (j'ai choisi l'option factoriser qui me semble plus rapide):

On a
f(x)=e^(x/2) (e^(x/2) - 1)

Soit e^(x/2)=0 ---> impossible car fonction exp n'atteind pas zéro
soit (e^(x/2) - 1=0
ce qui donne :
e^(x/2) = 1
ln e^(x/2)= ln 1
x/2 =0
x= 0

Donc lorsque x=0, on a f(x)=0
lorsque x>0, f(x) > 0
lorsque x<0, f(x) <0

Correct?

par **Mortelune** » 29 Déc 2010, 18:48

ça c'est bon oui.

par **XENSECP** » 29 Déc 2010, 18:57

milkshaak a écrit:Donc lorsque x=0, on a f(x)=0
lorsque x>0, f(x) > 0
lorsque x<0, f(x) <0

Correct?

Résoudre l'inéquation

aurait été + élégant pour la présentation mais bon le résultat est bon (heureusement que l'exponentielle est une fonction croissante sympathique)

par **milkshaak** » 02 Jan 2011, 21:28

Je suis bloqué à la Partie B.
J'ai réussi les limites mais je n'arrive pas les 2 autres questions. S'il vous plait est-ce que quelqu'un peut m'aider?

par **XENSECP** » 02 Jan 2011, 21:31

Dérivée d'une composée de fonction quoi :

par **milkshaak** » 02 Jan 2011, 21:45

Je sais bien que c'est ca la dérivée d'une composée mais j'arrive pas quand même...

par **Mortelune** » 02 Jan 2011, 21:49

Si tu connais séparément les u', v' et v séparément, tu as plus qu'à le mettre ensemble ça doit pas être compliquer, peut être calculer u'(X) et ensuite remplacer X par v(x).

par **milkshaak** » 02 Jan 2011, 21:57

f(x)= e^x-e^(x/2)
gof=g(f(x))=ln (f(x))
g(x)=ln x donc g'(x) = 1/x

non?

par **Mortelune** » 02 Jan 2011, 23:02

Oui il y a rien de faux

par **milkshaak** » 02 Jan 2011, 23:14

Ok super j'ai réussi ^^
Par contre, je bloque à la suivante...

par **milkshaak** » 02 Jan 2011, 23:22

PS: pour les limites j'ai trouvé cela
pour x-->0 : lim g(x)=-oo quand x-->0

pour x-->+oo: lim g(x)=+oo quand x-->+oo

C'est bon?

par **milkshaak** » 03 Jan 2011, 00:15

Aufete pour la dérivée de la composée j'ai pas trouver ca m'énerve ca me donne un résultat bizarre.
Pouvez-vous le développer pour que je voit la différence?
Je vous remercie...

par **Mortelune** » 03 Jan 2011, 12:02

On en déduit donc :

Et comme

on en déduit :

Pour la 3) il faut d'écrire

DM exponentielle et logarithme

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