[TERMINALE S] Exponentielle - Equations différentielles

[Anonyme]

Pollution aux nitrates ( niveau 3 étoiles)

Une exploitation agricole utilise un certain type d'engrais qu'elle répand
sur le sol.
Une étude a montré qu'une fois répandu sur le sol, une partie de l'engrais
(1%) est transmise sous forme de nitrate dans l'eau de la nappe phréatique ;
ces nitrates sont ensuite dissous dans cette eau.
On note Qo la quantité d'engrais répandu sur le sol à l'instant t = 0.
A tout instant, la quantité de nitrates qui passe dans l'eau est notée q(t)
et f(t) désigne la quantité de nitrates dissoute dans l'eau.
L'étude a encore montré que les fonctions q et f vérifient pour tout t >= 0
les équations différentielles suivantes :
(1) q'(t) = - 0.7q(t) avec q(0) = qo = 0.01Qo
(2) f'(t) = 0.7q(t) - 0.4f(t) avec f(0) = 0

1. Résoudre l'équation (1)
2. a. Résoudre l'équation différentielle y' + 0.4y = 0
b. Déterminer le réel k tel que la fonction définie par t -> 0.7 * qo
* k * exp(-0.7t) soit une solution particulière de (2)
c. En déduire la résolution de l'équation différentielle (2)
3. On suppose dans cette question que qo = 30
a. Montrer que f'(t) = 70 * exp(-0.4t) * (-0.4 + 0.7*exp(-0.3t))
b. Démontrer que l'équation -0.4 + 0.7*exp(-0.3t) = 0 admet une solution
unique t1 sur [0 ; +oo[
Vérifier que 1.8 0.7 * qo
* k * exp(-0.7t) soit une solution particulière de (2)

Dans (2), j'ai une fonction f',une f et une q
Je ne sais pas comment faire.
De même, 2.c, résoudre cette équation différentielle, je ne sais pas le
faire, à cause de ce problème

Le reste, ne me le dites pas, je voudrais essayer de trouver. Mais si vous
pouviez m'aider la dessus, ce serait gentil à vous

Damien

(MSN pour ceux qui sont motivés luonmad@hotmail.com)

[Anonyme]

On Thu, 25 Nov 2004 21:31:14 +0100, Damien MEYER wrote:

> (2) f'(t) = 0.7q(t) - 0.4f(t) avec f(0) = 0
>
> q(t) = qo*e(-0.7t)
> b. Déterminer le réel k tel que la fonction définie par t -> 0.7 * qo
> * k * exp(-0.7t) soit une solution particulière de (2)
>
> Dans (2), j'ai une fonction f',une f et une q
> Je ne sais pas comment faire.

Tu remplaces dans ton équation (2) f(t) par 0.7*q0*k*exp(-0.7t)

Ca donne:

-0.49*q0*k*exp(-0.7t) = 0.7 q(t) - 0.28*q0*k*exp(-0.7t)
-0.49*q0*k*exp(-0.7t) = 0.7*qo*e(-0.7t) - 0.28*q0*k*exp(-0.7t)

En simplifiant par q0*exp(-0.7t) (qui ne s'annule jamais), on a:

-0.49*k = 0.7 - 0.28

Il devient facile d'en déduire k.

--
Nicolas, qui espère qu'il ne s'est pas trompé

[Anonyme]

> On Thu, 25 Nov 2004 21:31:14 +0100, Damien MEYER wrote:
>[color=green]
>> (2) f'(t) = 0.7q(t) - 0.4f(t) avec f(0) = 0
>>
>> q(t) = qo*e(-0.7t)
>> b. Déterminer le réel k tel que la fonction définie par t -> 0.7
>> * qo
>> * k * exp(-0.7t) soit une solution particulière de (2)
>>
>> Dans (2), j'ai une fonction f',une f et une q
>> Je ne sais pas comment faire.
>
> Tu remplaces dans ton équation (2) f(t) par 0.7*q0*k*exp(-0.7t)
>
> Ca donne:
>
> -0.49*q0*k*exp(-0.7t) = 0.7 q(t) - 0.28*q0*k*exp(-0.7t)
> -0.49*q0*k*exp(-0.7t) = 0.7*qo*e(-0.7t) - 0.28*q0*k*exp(-0.7t)
>
> En simplifiant par q0*exp(-0.7t) (qui ne s'annule jamais), on a:
>
> -0.49*k = 0.7 - 0.28
>
> Il devient facile d'en déduire k.
>
> --
> Nicolas, qui espère qu'il ne s'est pas trompé[/color]


Merci Beaucoup, je verais si cela est juste.