que j'ai fais en ds avec la correction que je mettrais en violet , car la prof n'a pas mis les étapes intermédiaires pour les corrections, croyant que c'était "trop facile" bref .. ce serait sympa ! =) Dsl pour la longueur de l'exercice 1:
1) Soit a,b,c trois réels deux à deux distincts,
,;),;) trois réels donnés. Montrer qu'il ne peut pas exister deux polynômes P et Q distincts, de degré 2 ou plus, et vérifiant:P(a) = Q(a)=
P(b) = Q(b) =
P(c) = Q(c) =
2) On considère les trois polynômes:
L1(x) = (x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)
L2(x) = (x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)
L3(x) = (x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)
a) Déterminer L1(a), L2(a), L3(a) ;L1(b), L2(b), L3(b) ; L1(c), L2(c), L3(c) ;
b) On pose P=
L1+;)L2+;)L3Déterminer P(a), P(b), P(c) , et vérifier que deg P
2 3) Enoncer un résultat général, établi dans les questions 1), 2) (Le polynôme P défini en 2)b) est le polynôme de Lagrange associé aux nombres a,b,c. La méthode se généralise à plus de trois coefficients.
4) Applications,
a) Déterminer le polynôme P, de degré 2 au plus, vérifiant:
P(0)= 3, P(-2)=5, P(1)=2
b) Déterminer le polynôme P, de degré 2 au plus, qui prend les même svaleurs que la fonction f:x =>
1+x aux points -1n 0 et 3. (On dit que ce polynôme réalise une interpolation de degré 2 de def, )c) Quel est le nombre maximal de régions que déterminent n droites du plan (n
1) ? On admettar que ce nombre s'écrit P(n), P polynôme de degré 2;
P(1), P(2), P(3) sont faciles à déterminer ....
Exercice 4:
1) La somme 1 + 2 + .. + n
a) Déterminer un polynôme P, de degré 2, vérfiant pour tout x:
P(x+1) - P(x) = x
b) Prouver l'égalité : 1+2+..+n= P(n+1)-P(1).
En déduire que 1+2+...+n= n(n+1)/2
2) La somme 1²+2²+..+n²
a) Déterminer un polynôme Q, de degré 3, vérifiant pour tout x:
Q(x+1)-Q(x)=x².
b) En déduire les égalités:
1²+2²+..+n²=Q(n+1)-Q(1).
puis, 1²+2²+..+n²=n(n+1)(2n+1)/6
3) La somme 1cube+2cube+...+n3
En s'inspirant de la méthode des questions 1° et 2), établir la formule sommatooire: 1cube+2cube+...+ncube= [n(n+1)/2]²[/FONT]