Exos Sur Les Moyennes !!

[Mayline14]

nan j'arrive pas a calculer j'arrive a rien !!

[Kah]

Ok, on reprends.
Tu dois calculer moyenne arithmetique- moyenne geometrique.
Tu prends a et b deux nombres.
Leur moyenne arithmetique: (a+b)/2
Leur moyenne geometrique: V(ab)
donc moyenne arithmetique- moyenne geometrique:
(a+b)/2-V(ab); tu es ok jusque la?

[Mayline14]

oui jusque làà

[Kah]

Ok.
Ensuite, on mets tout sur le meme denominateur (2 ici):
(a+b-2Vab)/2. on remarque une identitée remarquable:
(Va-Vb)^2/2. C'est fini.
Tu as un carré toujours positif, divisé par deux, donc sa reste positif.
Donc Moyenne arithmetique-moyenne geometrique donne un truc positif (ou nul, pour a=b). Tu suis?

[Mayline14]

pourquoi on passe de plus à moins ?

Pourquoi c'est pas (a+b -2Vab)/2 ?

[Kah]

Ah oui je me suis trompé desolé. Bon a priori tu suis. Encore desolé.
Le reste, sa va?

[Mayline14]

donc ensuite ?

[Kah]

Alors la suite:
Je vais appeler ari la moyenne arithmétique, et geo celle géométrique, j'en ai marre de retaper a chaque fois.
Tu as bien ari-geo positif.
Donc, en langage mathématique, ari -geo>0
Et, en ajoutant geo aux deux termes de l'inéquation, on a ari>geo.

[Mayline14]

Nan si on ajoute geo on a : ari geo + geo >ou= geo

[Kah]

Et non:

Tu as ari -geo>ou =0
équivalent a : ari-geo+geo>ou=a geo.
donc ari>ou =a geo.

[Mayline14]

Ah ouuui okeey ^^ ensuuite

[Kah]

bah c'est fini: tu as bien comparé moyenne arithmetique et geometrique, on a toujours moyenne arithmetique>ou= a moyenne geometrique.

[Mayline14]

Meeerci beaucoup pck tu sais il y a une autre technique ou t'fais (mais en faite tu pars pas dl'a difference ) :
(Va-Vb)²>=0
a+b-2Vab>=0
a+b>=2Vab

et voilaa

[Mayline14]

donc jsais pas. . .

[Kah]

Oui c'est la même chose, mais a l'envers.

[Mayline14]

mais dans la technique dont je te parle je comprends pas le pt de depart

[Kah]

Bah en fait, le point de depart proviens d'une intuition.
Tu sais que n'importe quel carré est positif, en particulier celui de Va-Vb.
Mais c'est un raisonnement difficile a expliquer, et il fait appel a l'instinct, on ne te demandera jamais d'avoir ce genre de raisonnement en contrôle.
Le moyen qui marche a 99% du temps pour comparer deux nombres, c'est étudier le signe de leur différence.

[Mayline14]

D'accord meerci =) mais tu m'avais dit a un moment que j'avais une identité remarquable dans ta technique mais finalement non . . .

[Kah]

Sisi tu as bien une identitée remarquable:
On a à un moment a-2Vab+b=(Va-Vb)^2, ce qui est une identité remarquable, mais qui factorise.

[Mayline14]

Nan on a jamais ça je t'ai même fait la remarque !! que c'était un plus