Exo de term S raoisonnement par recurrence!

[Anonyme]

bonjour j ai un petit probleme avec mon exercice de maths et je n arrive pas
a résoudre, est ce que vous pouvez m aider!

on considere la suite (Un) definie par U0=1 et U(n+1)=Un+2n+3 pour tout
entier naturel n

1.
etudier la monotonie de la suite (Un)
...... ca j ai ait j ai trouver croissant sur [0;+infini[ et decroissante
sur ]- inf; 0[

2.
a. demontrer que pour tout entier naturel n , Un > n²
....... et la j y arrive pas!

b.quelle est la limite de la suite (Un)?
........ ca c'est simple!

3.
conjecturer une expresssion de Un , en fontion de n puis demontrer la
propriete ainsi conjecturer.
......... et je comprends pas la question

merci de me repondre

[Anonyme]

aimy64 a écrit:
> bonjour j ai un petit probleme avec mon exercice de maths et je n arrive pas
> a résoudre, est ce que vous pouvez m aider!
>
> on considere la suite (Un) definie par U0=1 et U(n+1)=Un+2n+3 pour tout
> entier naturel n
>
> 1.
> etudier la monotonie de la suite (Un)
> ..... ca j ai ait j ai trouver croissant sur [0;+infini[ et decroissante
> sur ]- inf; 0[

Attention à ne pas confondre une suite et une fonction. Une suite est
une fonction qui va de N dans N, donc on n'étudie les variations de U(n)
que sur N (éventuellement un intervalle [a,b] inter N ).

Donc ici U(n) est (strictement) croissante.

> 2.
> a. demontrer que pour tout entier naturel n , Un > n²
> ...... et la j y arrive pas!

C'est ici qu'il faut raisonner par récurrence.
Tu notes P(n) "U(n) > n^2"
P(O) est vrai (car...)
si il existe un n tel que P(n) est vrai, on montre que P(n+1) est vrai.
ie on montre que U(n+1) > (n+1)^2 = n^2 +2n +1
par hypothèse U(n+1) = U(n) +2n +3
donc P(n+1) équivaut à "U(n) +2n +3 >n^2 +2n+ 1"
et en utilisant l'hypothèse de récurrence, ie P(n) vrai, tu peux
facilement conclure.


> b.quelle est la limite de la suite (Un)?
> ........ ca c'est simple!
>
> 3.
> conjecturer une expresssion de Un , en fontion de n puis demontrer la
> propriete ainsi conjecturer.
> ........ et je comprends pas la question

Une conjecture est une hypothèse.
Tu calcules par exemple u(0), U(1), U(2), U(3), et tu essayes de
proposer une formule explicite de U(n). Ensuite, on te demande de
démontrer cette formule par récurrence (sur le même modèle que le 2a)


--
albert

[Anonyme]

- albert junior :

> Attention à ne pas confondre une suite et une fonction. Une suite est
> une fonction qui va de N dans N

pardon ?

[Anonyme]

Le Sun, 12 Sep 2004 13:52:27 +0200, albert junior à écrit
>aimy64 a écrit:[color=green]
>> bonjour j ai un petit probleme avec mon exercice de maths et je n arrive pas
>> a résoudre, est ce que vous pouvez m aider!
>>
>> on considere la suite (Un) definie par U0=1 et U(n+1)=Un+2n+3 pour tout
>> entier naturel n
>>
>> 1.
>> etudier la monotonie de la suite (Un)
>> ..... ca j ai ait j ai trouver croissant sur [0;+infini[ et decroissante
>> sur ]- inf; 0[
>
>Attention à ne pas confondre une suite et une fonction. Une suite est
>une fonction qui va de N dans N, donc on n'étudie les variations de U(n)
>que sur N (éventuellement un intervalle [a,b] inter N ).
>
>Donc ici U(n) est (strictement) croissante.
>
>> 2.
>> a. demontrer que pour tout entier naturel n , Un > n²
>> ...... et la j y arrive pas!
>
>C'est ici qu'il faut raisonner par récurrence.
>Tu notes P(n) "U(n) > n^2"
>P(O) est vrai (car...)
>si il existe un n tel que P(n) est vrai, on montre que P(n+1) est vrai.
>ie on montre que U(n+1) > (n+1)^2 = n^2 +2n +1
>par hypothèse U(n+1) = U(n) +2n +3
>donc P(n+1) équivaut à "U(n) +2n +3 >n^2 +2n+ 1"
>et en utilisant l'hypothèse de récurrence, ie P(n) vrai, tu peux
>facilement conclure.
>
>
>> b.quelle est la limite de la suite (Un)?
>> ........ ca c'est simple!
>>
>> 3.
>> conjecturer une expresssion de Un , en fontion de n puis demontrer la
>> propriete ainsi conjecturer.
>> ........ et je comprends pas la question
>
>Une conjecture est une hypothèse.
>Tu calcules par exemple u(0), U(1), U(2), U(3), et tu essayes de
>proposer une formule explicite de U(n). Ensuite, on te demande de
>démontrer cette formule par récurrence (sur le même modèle que le 2a)[/color]

remarque que

Un+1 - Un = 2n+3
Un - Un-1 = 2(n-1) + 3
....
U1 - U0 = 2(0) + 3

en sommant les termes en Un se télescopent pour donner

Un+1 - U0 = (3+3+3+...+3) + 2 * (0+1+2+...+n)
= 3(n+1) + 2 * n(n+1)/2
= 3(n+1) + n(n+1)
= (n+1)(n+3)

Soit Un = U0 + n(n+2)

A priori ce genre de démonstration est suffisante, c'est une
démonstration par réccurence cachée, mais puisqu'on te demande de le
démontrer tu fais :

"Supposons P(n) (ô miracle) que Un = U0 + n(n+2)" etc ...





--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

Eric a écrit:
> - albert junior :
>
>[color=green]
>>Attention à ne pas confondre une suite et une fonction. Une suite est
>>une fonction qui va de N dans N
>
>
> pardon ?[/color]

oui j'ai dit une connerie ...
Une suite réelle va de N dans R


--
albert