Exo sur polynomes

[qelmcpc]

Bonjour,
Il y a quelque chose qui m'échappe sur cet exercice:
Soient a, b et c des réels, et soit le polynome f défini pour tout x réel par:

Déterminer les valeurs de a, b et c telles que f ait pour racines les nombres -3, 1 et 2 (On pourra résoudre un système linéaire de trois équation à trois inconnues).

Ce que j'ai fait:
G(x) étant un polynome.

Posons
A ne peut être qu'égal à 1(pour respecter les degrés) et B à zéro(aucun monome de degré 4). Par identification, C = 1. Donc et on développe et on identifie a et b et c.

Mais comment fait-on avec un système à trois équations.
Ce que j'ai fait n'est pas du tout rigoureux, et même peut etre faux.

Voilà, merci beaucoup!

[MacManus]

Bonjour,

Dire que est racine d'un polynôme P, c'est équivalent à dire que

[qelmcpc]

ah autant pour moi, j'étais focalisé sur ce maudit théorème de factorisation, que dès que je lisais racine, j'appliquais... :mur:

Merci!

[MacManus]

Une petite remarque:

A ne peut être qu'égal à 1 , car ton polynôme est unitaire, son coeff dominant est 1)

[qelmcpc]

D'accord, merci, c'est mieux rédigé maintenant!

[qelmcpc]

Bonjour,
Pour vérifier qu'un réel a est racine double d'un polynôme, on peut seulement voir si il existe la factorisation par (x-a)²(donc calculer l'autre polynome) et pas celle par (x-a)^3 ou bien il existe un moyen plus simple?
Merci!

[MacManus]

Oui on revient à la factorisation dans ce cas.

a est une racine d'ordre k d'un polynôme P de K[X], ssi il existe un polynôme Q de K[X], tel que:
P(X) = (X-a)^k . Q(X) avec Q(a) non nul.

[qelmcpc]

D'accord merci beaucoup!

[Ericovitchi]

Autre façon de faire : Pour vérifier qu'un réel a est racine double d'un polynôme, on peut vérifier que P(a)=0 et P '(a)=0

[qelmcpc]

Ah, c'est curieux ça :ruse:
Aurais-tu la démonstration, pour que je voie mieux?
Ou bien c'est tout bête...

[MacManus]

C'est une conséquence du fait que P(X)=(X-a)^k . Q(X) avec Q(a) non nul et k>0.
Tu peux dériver l'expression de P(X) et tu vas comprendre je pense.

[Ingrid55]

Rien n'est jamais bête *.* @qelmcpc

[qelmcpc]

ah oui, donc pour k = 2 P'(X) = 2(x-a)G'(x)
P'(a) = 0

mais on a :
si P(x) a une racine double a => P'(x) =0
Comment peut-on conclure dans le sens <= ?

Ingrid:
je me demandais juste si ce résultat était visible très rapidement/intuitif!

[qelmcpc]

On a bien p'(x) = (x-a)(2G(x) + (x-a)G'(x)) ?

[MacManus]

On a bien p'(x) = (x-a)(2G(x) + (x-a)G'(x)) ?

Oui, pour k=2 et Q=G
P'(a)= ?

[qelmcpc]

D'accord!
Mais je vois pas trop pour la preuve :/
Alors si P'(x) = 0 alors x est racine de la dérivée donc p'(x) = (x-a)Z(x) et après?

[MacManus]

D'accord!
Mais je vois pas trop pour la preuve :/
Alors si P'(x) = 0 alors x est racine de la dérivée donc p'(x) = (x-a)Z(x) et après?

P'(x)=(x-a)Z(x) avec Z(a) non nul puisque Q(a) non nul.
Cette expression signifie que a est racine d'ordre 1 de P', donc que P'(a)=0

[qelmcpc]

Est-ce que cette preuve marche ?
P(a) = 0 Donc P(x)= (x-a)G(x) donc P'(x)= G(x)+(x-a)G'(x)
Or P'(a) = 0 donc on a aussi p'(x)= (x-a)Z(x)
DOnc: G(x)+(x-a)G'(x) = (x-a)Z(x)
G(x) = (x-a)(Z(x)-G'(x))
D'où P(x) = (x-a)²H(x)

Désolé s'il y a une incompréhension

[qelmcpc]

Oula, ce que je viens de dire n'a rien à voir avec le post d'Erico!!
Si a est racine double => P(a)=0 et P'(x)=0
Et je viens de prouver le sens inverse :dodo:
Quel étourdi!

[MacManus]

C'est faux de toute façon.
P(x)=(x-a)Q(x) signifie que a est racine simple de P, avec Q(a) NON NUL
P'(x)=Q(x)+(x-a)Q'(x), or si a est racine de P', alors P'(a)=Q(a)=0
Ce qui est absurde puisque Q(a) NON NUL par définition

il faut partir du fait que a est racine double de P et considérer donc P(x)=(x-a)²Q(x)