Exo sur les tangentes communes des fonctions exp et ln

[Mathilde16]

:hein: bonsoir,

Je suis en term S et je bloque sur un exercice ( surtout à la question 3) )qui s'intitule " chercher des tangentes communes"; voici l'énoncer:

Soit les courbes C et Téta d'équations respectives y= ln(x) et y= exp(x). Il semble qu'il y ait 2 droites tangentes communes à ces deux courbes. On se propose de déterminer les points de C réalisant cette configuration.

1) soit A un point de la courbe C d'abscisse a (a strictement supérieur à 0)
Déterminer l'équation réduite de la tangente à C en a (appelée Ta).

----> pour cette question j'ai trouvé: y= 1/x ( x-a)+ln(x)= 1-a/x +ln(x) c'est ça?

2) même question mais pour la tengante à Téta au point d'abscisse b (appelée Tb), j'ai trouvé:
-----> y= exp(x) (x-b)+ exp(x)= x exp(x) -b exp(x)+exp(x)


3) Exprimer l'égalité de (Ta) et (Tb) par un système d'inconnues a et b. En déduire que (Ta) et (Tb) sont confondus si, et seulement si:
aln(a)-ln(a)-a-1=0
a= exp(-b)

si vous pouviez m'aider ça serait gentil, merci!!

[hellow3]

Salut.

1. Presque: y=f'(a)(x-a) +f(a)
y= 1/a (x-a)+ln(a)= x/a -1 +ln(a)

2.
y= exp(b) (x-b)+ exp(b)=exp(b)x -exp(b)(b+1)

3.
Si les deux droites sont confondues, elles ont même coefficient directeur et même ordonnée à l'origine.

[Mathilde16]

bonjour!

merci pour les équations des tangentes ( en fait j'ai mélangé les pinceaux entre les x et les a )

pour la question 3, je n'arrive pas à faire le système d'inconnue a et b. faut-il que je fasse:
(1/a)(x-a)+ln(a)= 0
exp(b)x -exp(b)(b+1)= 0 ?


pour qu'elles soient confondues, il faudrait que: -exp(b)= 1/a ???

[hellow3]

3.
Si les deux droites sont confondues, elles ont même coefficient directeur et même ordonnée à l'origine.

y=x/a -1 +ln(a)
y=exp(b)x -exp(b)(b+1)

donc 1/a=exp(b) et -1 +ln(a) = -exp(b)(b+1)

1/a=exp(b)
1/exp(b) =a
exp(-b)=a

-1 +ln(a) = -exp(b)(b+1)
on a vu 1/a=exp(b)
-1 +ln(a) = -1/a(b+1)
si 1/a=exp(b) alors ln(1/a)=ln(exp(b)) soit ln(1/a)=b et -ln(a)=b
donc: on vire b
-1 +ln(a) = -1/a(b+1)
-1 +ln(a) = -1/a(-ln(a)+1)

..
par contre j'arrives à alna-lna -a +1=0 ???

[Mathilde16]

merci!! alors attendez, j'essaie de refaire ça par moi-même et je vais voir si j'obtiens comme vous au final...! mais merci beaucoup pour ce que vous avez fait!

[Mathilde16]

moi aussi j'obtiens comme vou:

(-1/a)(-ln(a)+1)= -1+ln(a)

-ln(a)+1= a-alna
-lna+1-a+alna=0
alna-lna-a+1=0 ... peut-être une faute de frappe sur mon bouquin?

[hellow3]

j'aurais pas fait une erreur genre:
y=e(b)(x-b)+e(b)=e(b)x +e(b)(1-b) au lieu de b+1??

[hellow3]

y=x/a -1 +ln(a)
y=exp(b)x +exp(b)(1-b)

donc 1/a=exp(b) soit a=exp(-b)
et -1+lna = exp(b)(1-b)
-1+lna =1/a*(1-ln(1/a))
-a+alna = 1-ln(1/a)
-a+alna = 1+ln(a)
alna-lna-a-1=0
OUF.

[Mathilde16]

je recommence les calculs!!^^

[Mathilde16]

si c'est ça! merci! :happy2: