Exo sur les suites

[sasotzu]

Bonjour à tous ! voilà quelques heures que je bloque sur plusieurs questions d'un dm de maths... :triste:

Voici : Soit U la suite telle que U0 = 0, et U (n+1) = (4) / (4-Un)

Soit V la suite définie sur N par Vn = (2) / (2-Un)

Montrer que V est une suite arithmétique, puis préciser ses éléments caractéristiques.

Il y a eu beaucoup de questions avant, du genre 0
Il faudrait faire V (n+1) - Vn mais je n'ai pas l'expression de Vn... J'ai essayé V (n+2) - Vn mais je tombe sur quelque chose de louche et ça doit pas être la chose à faire.

Merci d'avance =)

[Ben314]

Salut,
Partant de la formule U(n+1)=fonction_de_Un, il faut que tu trouve une formule V(n+1)=fonction_de_Vn en utilisant la définition de Vn...

[sasotzu]

Je vois à peu près, mais je ne sais pas comment procéder...

Je peux dire U (n+1) = f (Un), c'est à dire U (n) = (4)/(4-x), puis remplacer dans l'expression de Vn ? Puis pour V (n+1) je remplace par (x+1) ? :hein:

[Ben314]

Non, pas du tout, donner un nom à la fonction qui permet de calculer U(n+1) en fonction de Un ne résoud absolument rien...
Je pense que ton problème est que tu ne vois pas bien ce que veut dire la phrase :
On pose Vn = 2 / (2-Un) pour tout entier n.
Elle veut dire que :
V1=2/(2-U1),
V47=2/(2-U47),
Vp=2/(2-Up) pour tout entier p
V(4p²+5)=2/(2-U(4p²+5) pour tout entier p
V(n+1)=...
Je te laisse le soin de compléter la dernière ligne (puis de continuer sur la lancée)

[sasotzu]

Ah d'accord j'ai compris !
mais V (n+1) - Vn devrait donner une constante non ?
J'ai donc calculé V (n+1) je trouve (2) / (2U²n-12Un+16)

Et quand je fais V (n+1) - V(n) je tombe sur (2U²n - 11 Un + 14) / ( U^3n + 4U²n+4Un-16) :doh:

[Ben314]

Tu as sans doute dû faire une erreur de calcul (ou bien il y a une erreur d'énoncé...)
Je vérifie...

[Ben314]

Tu t'est effectivement gourré avec les fractions de fractions : normalement tu n'as pas de carrés, ni de cubes.
Aprés calculs, je trouve

Réessaie et, si tu n'y arrive pas, montre tes calculs...

[sasotzu]

En fait je trouve V(n+1) = (2) / (2) - ((4)/((4-Un)) donc je mets 2 sur le même dénominateur que (4) / (4-Un) et ça donne

V(n+1) = (2)/ (((2) (4-Un) -4) / (4-Un))

Or a/b/c = a/(b*c) si je ne me trompe pas :hein: donc ça me donne des carrés...

J'arrête pas de refaire le même calcul je ne vois pas où je me suis trompé, j'ai dû oublier un truc débile j'en suis sûr :mur:

[Ben314]

Or a/(b/c) = a/(b*c) si je ne me trompe pas...

Tout d'abord, il faut des parenthèses pour que ça ait un sens car (a/b)/c n'est pas égal à a/(b/c).
Et, dans le cas de a/(b/c) qui est celui qui t'interesse ici, la réponse n'est pas a/(b*c), mais c'est ...

[sasotzu]

Euh... (a*b) / (c) ? Mais c'est bizarre je pensais que ça faisait toujours (a)/(b) * (1)/(c), m'enfin...

Je trouve V(n+1) = 1... j'ai passé des heures là dessus alors que ça aurait pu prendre 30 secondes :mur:

Merci beaucoup :) bon week-end

[sasotzu]

Rah je bloque encore...

Parce qu'il faut exprimer Un en fonction de n.

Je trouve Vn = 1+n mais Un je sais pas comment faire...

Je sais que Vn = (2) / (2-Un), or Vn = 1+n donc j'ai fait le calcul 1+n = (2) / (2-Un), je tombe sur :

2n = Un * Vn , donc Un = 1/n (je saute des étapes)

Or U0=0, U1=1, U2= 4/3, c'est pas du tout bon...

[Ben314]

Essaye de commencer par déduire de la formule qui donne Vn en fonction de Un une formule qui donne Un en fonction de Vn (sans tenir compte des autres calculs fait)...

[sasotzu]

J'y arrive pas >< je trouve je trouve 2n = Un * Vn donc Un = (Vn) / (2n) mais je crois que c'est faux...

[Ben314]

Essaye de commencer par déduire de la formule qui donne Vn en fonction de Un une formule qui donne Un en fonction de Vn (sans tenir compte des autres calculs fait) :
Si alors
C'est une toute bête équation....

[sasotzu]

Oui à partir de Vn = (2) / (2-Un), je tire Un et je trouve... Un = Vn-2 mais ça ne marche pas...

[Ben314]

Si alors donc et ...

[sasotzu]

Ah mais oui j'ai mal tiré Un :mur: hum je suis mauvais aujourd'hui ^^'

Ben merci beaucoup c'est super sympa !!! bonne soirée