Exo sur des cercles dans un repere orthonormal

[snakebirds]

Bonjour tout le monde,
je ne parvient pas du tout à résoudre cet exercice pouvez vous m'aider s'il vous plait?

Dans le plan rapporté à un repere orthonormal (O; i; j) on considere le point A (3 ; -1) et la droite Delta d'équation 2x + y -10=0.
Caractériser les cercles (C) passant par les point O et A et tangents a la droite Delta. (On précisera les coordonnées des centres de ces cercles ainsi que les rayons).

merci d'avance a+

[Alphonse Capriani]

Le centre de ton cercle sera situé sur la médiatrice du segment [OA] puisque ces deux points sont sur le cercle!

Détermine l'équation de la médiatrice de [OA] et les coordonnées du centre I du cercle vérifiera cette équation.

Ensuite calcule la distance entre le centre I et ta droite .

Les cercles qui conviennent sont les cercles vérifiant ou représente la distance entre I et la droite .

Il y a peut etre plus simple que cette méthode! Je pense que ma méthode est assez barbare et tres calculatoire, mais elle devrait aboutir!

Je vais essayer ma méthode et je te tiens au courant...

[snakebirds]

merci là a froid je ne comprend pas tout mais je vais essayer.

[Alphonse Capriani]

Bon, alors je résoud l'exo...

Soit la médiatrice du segment [OA]. passe par le milieu de [OA] et son coefficient directeur est égal à 3 (car ).

Donc le centre du cercle vérifie l'équation : .

Calculons maintenant la distance de I a

Soit passant par I. Son coefficient directeur est donc égal a 1/2. D'où :



Comme , ses coordonnées vérifient l'équation de , d'où et donc :


Calculons alors les coordonées de

vérifie les deux équation de droites, d'ou l'équation :


et donc

On a donc :


Or, on veut que

Or .
Donc on doit résoudre l'équation du second degré suivante :


D'où

Aisi il existe deux cercles répondant au pronlème :
Le premier est le cercle de centre de rayon

Le second est le cercle de centre de rayon