Exo spé

[theluckyluke]

Bonjour tout le monde,

Tout d'abord, j'ai un poblème que je n'arrive pas à résoudre (en spé maths)


I) Démontrer que, pour tout entier naturel n, n(5n²+1) est divisible par 6.

On pourrait je pense utiliser la récurrence, mais nous sommes dans le chapitre PGCD - Gauss - Bézout, donc je voulais essayer de trouver une solution en rapport avec le chapitre.


Voilà mon deuxième problème :

II) Le nombre n est un entier naturel non nul. On pose : a=4n+3, b=5n+2 et on note d le PGCD de a et b.
1) Calculer 5a-4b et en déduire les valeurs possibles de d.

2) Déterminer les entiers naturels n et k tels que : 4n+3=7k
Déterminer les entiers naturels n et k' tels que : 5n+2=7k'
etc...

pour la 1), je trouve que d vaut 1 ou 7.
pour la 2) en revanche, je ne voit pas comment faire. Je penser à la divisibilité mais je n'aboutit à rien.

Merci de votre aide.
a+

[theluckyluke]

II) Le nombre n est un entier naturel non nul. On pose : a=4n+3, b=5n+2 et on note d le PGCD de a et b.
1) Calculer 5a-4b et en déduire les valeurs possibles de d.

2) Déterminer les entiers naturels n et k tels que : 4n+3=7k
Déterminer les entiers naturels n et k' tels que : 5n+2=7k'
etc...

pour la 1), je trouve que d vaut 1 ou 7.
pour la 2) en revanche, je ne voit pas comment faire. Je penser à la divisibilité mais je n'aboutit à rien.

Merci de votre aide.
a+

c'est bon j'ai trouvé pour cet exo :

4n+3=7k (4n-4)+7=7k 4(n-1) multiple de 7
Donc 7 doit diviser 4(n-1). Or 7 ne divise pas 4, donc 7 doit diviser (n-1)


5n+2=7k' 5n-5+7=7k' 5(n-1)+7=7k' 5(n-1) multiple de 7
Donc 7 doit diviser 5(n-1). Or 7 ne divise pas 5, donc 7 doit diviser (n-1)

Donc les deux équations sont vérifiées pour n-1=7k''

[theluckyluke]

Bonjour tout le monde,

Tout d'abord, j'ai un poblème que je n'arrive pas à résoudre (en spé maths)


I) Démontrer que, pour tout entier naturel n, n(5n²+1) est divisible par 6.

On pourrait je pense utiliser la récurrence, mais nous sommes dans le chapitre PGCD - Gauss - Bézout, donc je voulais essayer de trouver une solution en rapport avec le chapitre.

J'ai trouvé une partie de la réponse je pense :

n(5n²+1) est divisible par 6 si :

n=6k
ou
5n²+1=6k' 5n²+6-5=6k' 5(n²-1)+6=6k' 5(n+1)(n-1)+6=6k'
Or 6 divise 6, donc 6 doit diviser 5(n+1)(n-1).
6 ne divise pas 5, donc 6 doit diviser (n+1)(n-1)

et après comment je peux continuer?

[theluckyluke]

J'ai trouvé une partie de la réponse je pense :

n(5n²+1) est divisible par 6 si :

n=6k
ou
5n²+1=6k' 5n²+6-5=6k' 5(n²-1)+6=6k' 5(n+1)(n-1)+6=6k'
Or 6 divise 6, donc 6 doit diviser 5(n+1)(n-1).
6 ne divise pas 5, donc 6 doit diviser (n+1)(n-1)

et après comment je peux continuer?

bon, je trouve finalement :


ou
ou
ou n=2q-1 et n=3q'+1
ou n=3m-1 et n=2m'+1
avec m, m', q, q', k, k' appartenant à Z

Est-ce que c'est juste?

[theluckyluke]

double post dsl

[BancH]

Avec les congruences ça fonctionne bien, mais je ne sais pas si ça fait parti de ton chapitre.

[theluckyluke]

Avec les congruences ça fonctionne bien, mais je ne sais pas si ça fait parti de ton chapitre.

oui effectivement j'y avais pas pensé!

dis donc, t'es en premiere et tu connais deja les congruences? la classe!

[BancH]

C'est pas classe - - toi aussi tu es en première.

Et c'est super intuitif comme méthode, ça devrait plutôt être au programme du colège.