Exo de spé math

par **Poneyilove** » 01 Sep 2015, 18:15

Bonjour.
Je commence la spé math.
J'ai un exercice à faire :

Le nombre n diminué de 4 est un multiple de 5 . Démontrer que n^2 -1 est aussi un multiple de 5.

J'ai donc commencé par
5| n-4
Et 5|n^2-1

Puis 5| n-4+n^2-1
Mais je ne trouve rien ...

J'ai aussi essayé de passer par a|b et b|c alors a|c
Mais la aussi je trouve pas.
Pourriez vous m'aidez?
Merci

par **mathelot** » 01 Sep 2015, 18:40

bonjour,

comment s'écrit l'entier "n" ?
une fois trouvée son écriture, il ne reste plus qu'à l'élever au carré.

par **Poneyilove** » 01 Sep 2015, 18:41

Bonjour
Je ne comprends la question

par **mathelot** » 01 Sep 2015, 18:44

n-4 est multiplie de 5.

comment écrit-on n-4 ? puis n.

par **Poneyilove** » 01 Sep 2015, 18:47

Si j'ai bien compris on a donc
5| n-4
Donc
n-4=k*5
n= k*5+4

C'est ça ?

par **zygomatique** » 01 Sep 2015, 19:32

salut

5 divise n - 4 donc (n - 4)(n - 1) = (n + 1 - 5)(n - 1) = (n + 1)(n - 1) - 5(n - 1)

donc n divise (n - 4)(n - 1) + 5(n - 1) = (n - 1)(n + 1)

:lol3:

par **Poneyilove** » 01 Sep 2015, 19:59

Je n'ai pas compris..

par **mathelot** » 01 Sep 2015, 20:09

Poneyilove a écrit:Si j'ai bien compris on a donc
5| n-4
Donc
n-4=k*5
n= k*5+4

C'est ça ?

oui.
d'où

donc

par **CBMaths_prof** » 01 Sep 2015, 20:22

Bonsoir,

Une autre méthode est de passer par les congruences.

Si

alors

par **lulu math discovering** » 01 Sep 2015, 21:02

Pourquoi vous vous embêtez ?

Je connais pas votre notation mais si on note m multiple de 5 tel que m=n-4, ça fait

n²-1=(m+4)²-1=m²+8m+16-1=m²+8m+15

D'où n²-1 multiple de 5.

par **lulu math discovering** » 01 Sep 2015, 21:03

Ah pardon mathelot, j'avais passé ton message un peu vite.

par **Cauchy2010** » 01 Sep 2015, 21:34

CBMaths_prof a écrit:Bonsoir,

Une autre méthode est de passer par les congruences.

Si alors

(c'est une notation réservée aux grands anciens ... :lol3: elle signifie que

est congru à 0 modulo 5 le reste de la division par 5 de

est égal à 0 :doh: )
C'est la base de l'arithmétique modulaire.

Donc on continue et on déduit que

soit

et donc

:++:
Q. E. D

par **zygomatique** » 02 Sep 2015, 18:59

CBMaths_prof a écrit:Bonsoir,

Une autre méthode est de passer par les congruences.

Si alors

c'est exactement ce que j'ai fait ... :ptdr:

j'apporte des compléments en gras à mon post précédent :::

5 divise n - 4 donc 5 divise (n - 4)(n - 1) = (n + 1 - 5)(n - 1) = (n + 1)(n - 1) - 5(n - 1)

donc n divise (n - 4)(n - 1) + 5(n - 1) = (n - 1)(n + 1)

car 5 divise (n - 4)(n - 1) (puisqu'il divise n - 4) et divise trivialement 5(n - 1)

:zen:

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