Exo récurence CGM 1999

[markty0]

Bonjour je cherche à démontrer cette affirmation

Pn:pour
(1)

d'après la question précédente on sait que : (2)

Je précise que livre dans lequel il y l'exo propose une correction:ils appliquent un raisonnement par récurence amenant une égalité faisant intervenir le log qui se résout grâce à la première partie de l'exercicee

Est-ce que mon raisonnement fonctionne:
Ini:Trivial
Héré:Je suppose que Pn est vraie au rang n
on a :


or grâce à (2)

de plus, == + (3)
comme alors

grâce à 2 et 3 on obtient: -


Si pour n>5 ce qui amenerait à une contradiction


Est-ce que j'ai finis car j'ai seulement montrer que que l'opposé de la propriété au rang n+1 est fausse ?

Merci d'avance

[LB2]

Bonjour markty0,

si tu raisonnes par récurrence, tu supposes P(n) vraie pour un entier n fixé, et tu cherches à démontrer P(n+1). Ce qui s'écrit ici :

Ce n'est pas ce à quoi tu as abouti attention

Petite remarque : la propriété est vraie aussi pour n=4 (2401>2258)

Cordialement

[markty0]

A oui l'erreur d'inattention merci mais en en faisant abstraction de l'erreur est-ce que ma démo était juste,démontrer qu'une propriété est vraie en démontrant que son opposé est fausse ?

[LB2]

Une méthode est d'appeler

On peut montrer que et que par des manipulations astucieuses (mais pas trop quand même) des inégalités. Exercice!

Vois-tu pourquoi cet argument fait fonctionner la récurrence?

[LB2]

A oui l'erreur d'inattention merci mais en en faisant abstraction de l'erreur est-ce que ma démo était juste

Non car ce n'est pas la bonne propriété que tu "démontres"

Est-ce juste de démontrer qu'une propriété est vraie en démontrant que son opposé est fausse ?

Oui, cet opposé s'appelle "Négation" en logique. C'est le principe du raisonnement par l'absurde.

[LB2]

Bien sûr il faut lire et pas

[markty0]

Alors pour Vn:
= or est strictement positif

donc ? je ne comprends pas ?

[LB2]

J'ai fait une erreur de calcul , en fait on peut montrer , et.

Or, pour , ce n'est pas trop difficile à montrer

[markty0]

d'accord merci

[markty0]

En adoptant ce même raisonnement j'arrive sur une autre inégalité plus complexe mais qui se déduit naturellement encore merci pour tes éclaircissement