Exo de recherche 1èreS

[Anonyme]

Bonjour ! :we:
Mon professeur nous a donné à faire un exercice de recherche. C'est de
l'algèbre.
L'énoncé est: Trouver tous les entiers naturels n tels que (9n-16)/(n²-14) appartienne à l'ensemble des nombres naturels.

Je n'arrive pas vraiment à démarrer, je cherche une piste..
Comment traduire "appartient à l'ensemble des nb naturels"?

Puis je me suis dite que pour que (9n-16)/(n²-14) appartienne à cet ensemble, il fallait que la fraction soit > ou égal à 0 puisque N n'inclut pas les négatifs.
Je trouve donc:

9n-16 > 0
9n > 16
n> 16/9

et pour que la fraction soit valable, on doit avoir un dénominateur différent de zéro, d'où:
n² - 14 différent de 0
n² différent de 14
n différent de racine de 14 ou de -racine de 14

Pouvez vous m'aider à continuer svp?

Merci de votre aide. :we:

[yvelines78]

bonsoir,
n=>0
cela signifie que :
A(n)=(9n-16)/(n²-14) =>0

il faut donc déterminer le domaine d'existence et faire un tableau de signes en étudiant le numérateur et le dénominateur

pour que A(n)=0, il faut que 9n-16=0, soit n=16/9
mais n#16/9 pas entier

n²-14#0--->n=-V14 ou +V14 mais n est un entier naturel, n ne peut prendre ces valeurs

n--------0........16/9........+V14.........+oo
9n-16
n-V14
n+V14
A(n)
dans le domaine ou A(n) est>0, il ne faut retenir que les entiers

[Huppasacee]

En quelle classe es tu ?

as tu étudié les variations de fonctions ?

étudier la fonction pour x > 0

La fonction doit être positive
Il faut ensuite que le numérateur soit plus grand ou égal au dénominateur
si tu as fait les trinômes du second degré, cela te donnera des indications

[tigre]

attend
voil une piste on posse k un entier

on a que
(9n-16)=k(n²-14)
tu resou cette equation avec k parmaéter réel
tu trouvera le solution en fonction de n il ya une dusscusion a faire
puis on change a chaque fois k
k=1
k=2

et ainsi on aura tous les n

[Anonyme]

J'ai observé et essayé de résoudre le problème grâce aux deux premières réponses qui m'ont été données.
Hyvelines78 m'a dit qu'il fallait trouver le domaine de définition de la fonction
A(n) = (9n-16)/(n²-14).
A(n) est définie sur l'ensemble R des réels sauf en x = V14 ou -V14.
Ensuite, j'ai dressé le tableau de signes de A(n):

Les racines du numérateur 9n-16 sont 16/9
Les racines du dénominateur sont 14 et -;)14:

[img][IMG]http://www.monsterup.com/upload/1226081395.jpg[/img][/IMG]

On a (9n-16)/(n²-14) > 0 sur l'intervalle ]-;)14;16/9] U ];)14;+;)[

Yvelines78 a dit qu'il ne fallait retenir que les entiers dans le domaine où A(n)>0 . On retient les entiers
n=0 et n=1 dans l'intervalle ]-;)14;16/9] mais l'autre intervalle est tend vers l'infini positif... On ne peut donc retenir tous les entiers du deuxième ensemble puisqu'il est infini. De plus, les deux premiers entiers compris dans l'intervalle ]-;)14;16/9] (0 et 1) ne donnent pas un nombre entier avec A(0) et A(1).

J'ai donc bâti un deuxième critère grâce aux indications de la deuxième réponse du post et j'ai cherché à trouver pour quels réels on avait 9n-16 n²-14:

9n-16 n²-14
9n n²+2
-n²+9n-2 0

J'utilise la méthode du discriminant pour trouver les racines du polynome
-n²+9n-2:

Delta = 81 - 4 *-1* -2
= 73

x = (-9-;)(73))/-2

et x = (;)(73)-9)/-2

et à résoudre cette nouvelle inéquation grâce à un second tableau de signes:
[img][IMG]http://www.monsterup.com/upload/1226082141.jpg[/img][/IMG]

On a donc deux critères pour trouver les entiers n naturels tels que (9n-16)/(n²-14) appartienne à l'ensemble N:

1) que le nombre soit compris dans l'intervalle ]-;)14;16/9] U ];)14;+;)[ (tab. de signes 1)
2) que le nombre soit compris dans l'intervalle [(;)(73)-9)/-2 ; (-9-;)(73))/-2]

Oublions le 0 et le 1 précédents: dans [(;)(73)-9)/-2 ; (-9-;)(73))/-2] , on a des entiers compris entre environ 0,227 et 8,77 , soit:
1,2,3,4,5,6,7,8

A(1), A(2) , de 3 , de 5, de 6, de 7 et de 8 donnent des nombres à virgule.
Seul A(4) donne un entier naturel qui est A(4) = 10 .

Peut-être que cette question ne comporte qu'une seule solution qui est 4...

[Anonyme]

Et pour répondre à Huppasasee, je suis en 1ère S , et j'ai déja étudié le signe d'un polynome du seconde degré ^^

[leon1789]

hé l'eau !

L'énoncé est: Trouver tous les entiers naturels n tels que (9n-16)/(n²-14) appartienne à l'ensemble des nombres naturels.

Je n'arrive pas vraiment à démarrer, je cherche une piste..
Comment traduire "appartient à l'ensemble des nb naturels"?

Idée, sans passer par R :id:

(9n-16) = (n²-14)*A avec

Visiblement
Pour , on a

Pour , on a .
Il reste n=4,5,6,7,8 à tester...

[Anonyme]

hé l'eau !


Idée, sans passer par R :id:

(9n-16) = (n²-14)*A avec

Visiblement
Pour , on a

Pour , on a .
Il reste n=4,5,6,7,8 à tester...

Et bien, je crois que j'avais trouvé la solution juste avant...
Il y a 4,5,6,7 et 8 à tester, et seul 4 donne A(4) = 10 (nombre entier).
J'espère que je ne me suis pas plantée sinon je fais un malheur :hum:
XD

[leon1789]

Et bien, je crois que j'avais trouvé la solution juste avant...

je proposais juste une méthode bcp plus simple (1 ligne !) qu'une étude de fonction pour éliminer tous les entiers n>8 :id:

[Anonyme]

je proposais juste une méthode bcp plus simple (1 ligne !) qu'une étude de fonction pour éliminer tous les entiers n>8 :id:

oui, merci beaucoup !! :we:
ta méthode semble très intéressante parce qu'elle est très courte mais je n'ai pas compris comment procéder au début oO
je ne la connaissais pas d'ailleurs Oo

[leon1789]

ben, tu écris : (9n-16) = (n²-14)*A avec

Pour , on a .

donc !