Exo nombres de fermat

[kimiferrari]

bonjour à tous
F_n = 2^(2^n) +1 = 2^(2^n) +1
je dois prouver que les nombres de fermat sont premiers entre eux deux à deux
si d est un diviseur positif commun de F_n et F_n+k, alors d=1
il faut prouver ce théorème avec trois méthodes :
montrer que F_n+k - 1 est congru à 1 modulo F_n
écrire F_n+k en fonction de F_n à l'aide du binome de Newton
Ecrire F_n+k - 2 en fonction de F_n à l'aide de l'égalité de Bernoulli
Aboutir au fait que d divise 2 et conclure
si quelqu'un a la moindre idée... merci de m'aider

[lapras]

F_n = 2^(2^n) +1 = 2^(2^n) +1
je dois prouver que les nombres de fermat sont premiers entre eux deux à deux
si d est un diviseur positif commun de F_n et F_n+k, alors d=1
il faut prouver ce théorème avec trois méthodes :
montrer que F_n+k - 1 est congru à 1 modulo F_n
écrire F_n+k en fonction de F_n à l'aide du binome de Newton
Ecrire F_n+k - 2 en fonction de F_n à l'aide de l'égalité de Bernoulli
Aboutir au fait que d divise 2 et conclure
si quelqu'un a la moindre idée... merci de m'aider

salut,
F_(n+k) - 1 = 2^(2^(n+k)) = 2^(2^n * 2^k) = (2^(2^n))^(2^k) = (F_n-1)^(2^k)

dans Z/F_nZ,
k>=1
F_(n+k) - 1 = (-1)^2k = 1
donc F_(n+k) - 1 = 1 mod F_n
donc F_(n+k) = k*F_n + 2
si d PGCD(F_(n+k) ; Fn), alors d divise necessairement 2 donc d = 1 ou d = 2
mais 2 ne peut pas diviser F_n qui est impaire, donc d = 1, donc...
je te laisse faire le binome de newton, il suffit juste de connaitre la formule !