Exo en lien avec la dérivation

[laurence04]

Bonjour à tous,

voilà j'ai débuté un exercice mais seulement j'ai des doutes et il y a des choses que je comprends pas donc je voudrais avoir de l'aide, s'il vous plaît.

Dans un repère d'origine O, P est la parabole d'équation y=x² - 1.
On associe à tout nombre réel x, le point M de P d'abscisse x.
1) Démontrer que OM ² = x^4 - x² + 1
Pour ça j'avais pensé à (x² - 1) ² : une identité remarquable mais le résultat n'est pas celui attendu.
(x² - 1)² = x^4 - 2x² + 1
ou sinon peut être un développement (x² - 1) (x² - 1)
mais je sais pas!

2) f est la fonction définie sur R par f(x) = x^4 - x² + 1.
a) Calculer f'(x) et étudier son signe.
b)Dresser le tableau de variation de f.

a) f est sous la forme u+v et (u+v)' = u' + v',
alors u=x^4 ; u'=4x^3
et v= - x² ; v'= -2x.
f'(x)= 4x^3 - 2x.

Quand j'étudie son signe, je trouve qu' il est négatif de moins l'infini à 0 et de 0 à plus l'infini. Alors que c'est faux et puis j'ai besoin d'étudier le signe de la dérivée pour pouvoir faire le tableau de variation de f.

[WillyCagnes]

bjr

il ne faut pas inventer une theorie, mais utiliser pythagore

le pt M a pour abscisse x et ordonnée y=x²-1
donc OM²= x²+y²= x²+ (x²-1)²=? developpe et simplifie l'expression

[laurence04]

ah d'accord, j'avoue que sur ce point je suis partit loin.
Le OM² me faisait penser à Pythagore mais je me disais que ça ne devait pas être ça!

Donc OM²= x²+(x² -1)² = x² + (x^4- 2x² +1) = x^4 - x² +1.
Et voilà c'est bon!
merci bien!

et pour l'exercice 2), est-ce que vous pouvez m'aider?

[WillyCagnes]

non... cherche d'abord....calcule la derivée et fais la suite et on te corrigera ,car lejour de tes contrôles on ne saura pas là pour t'aider.

[laurence04]

non... cherche d'abord....calcule la derivée et fais la suite et on te corrigera ,car lejour de tes contrôles on ne saura pas là pour t'aider.

D'accord, ben je vais réfléchir, chercher et encore chercher et puis je vous tiens au courant.
En tout cas merci encore de m'avoir mis sur la bonne voie par rapport à Pythagore.

[laurence04]

Bonjour,

voici la suite de l'exercice:
2) f est la fonction définie sur R par f(x) = x^4 - x² + 1.
a) Calculer f'(x) et étudier son signe.
b)Dresser le tableau de variation de f.

a) f est sous la forme u+v et (u+v)' = u' + v',
alors u=x^4 ; u'=4x^3
et v= - x² ; v'= -2x.
f'(x)= 4x^3 - 2x.
Puis je simplifie l'écriture:
f'(x)= 2x(2x² - 1)
Étant donné que 2x² - 1 est un polynôme du second degré, je dois chercher delta pour trouver ses racines.
Delta= 0² - 4*2*(-1)=8
Delta>0, donc le polynôme comporte deux racines:
x1=(-2 racine carré de 2)/4
x2=(2 racine carré de 2)/4

Et à partir d'ici je fais le tableau de signe:
2x est négatif de - l'infini à 0, et est positif de 0 à + l'infini.
2x² - 1 est négatif de - l'infini à x1, positif de x1 à 0, puis négatif de 0 à x2, et positif de x2 à + l'infini.
Donc f'(x) est négatif,positif,négatif et positif.
Ce qui correspond aux variations de la fonction.

Enfin, je l'ai trouvé!