Exo 2 du bac S métropole 2011, logarithmes

[Domy12]

Bonjour à tous! Voilà, je cherche à m'entraîner et je voudrais de l'aide pour résoudre l'exo 2 du bac de rattrape de cette année merci

Partie A - Étude du signe d'une fonction
On désigne par f la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +\infty[ par
f(x) = x^2 + 4\ln x.

1. Déterminer le tableau de variation de la fonction f en précisant les limites de f en 0 et en +\infty.

2. Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution \alpha et une seule dans l'intervalle ]0 ; +\infty[.

3. En déduire le signe de f(x) selon les valeurs du réel strictement positif x.

Partie B - Une valeur approchée du réel \alpha défini dans la partie A
Sur le graphique fourni ci-dessous, on a tracé une partie de la courbe représentative (\mathcal{C}) de la fonction g définie sur \mathbb{R} par :
g(x) = \text{e}^{- \frac{1}{4}x^2}
On définit la suite \left(u_{n}\right) par :
\left\lbrace\begin{array}{l c l} u_{0}&=&0,5 \\ u_{n+1}&=&g\left(u_{n}\right) \end{array} \right. pour tout n \in \mathbb{N}.

1. Vérifier que \alpha est l'unique solution de l'équation g(x) = x.

2. Au moyen de la courbe (\mathcal{C}) et de la droite d'équation y = x, représenter les termes u_{1}, u_{2} et u_{3} de la suite \left(u_{n}\right) sur l'axe des abscisses.
Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite \left(u_{n}\right) ?

3. On admet que pour tout entier naturel n, u_{2n} \le \alpha \le u_{2n+1}.
En utilisant la calculatrice, déterminer le plus petit entier n pour lequel les trois premières décimales de u_{n} et u_{n+1} sont identiques.
En déduire que 0,838 est une valeur approchée de \alpha à 10-3 près.
Bac scientifique Métropole Septembre 2011 - terminale : image 1


Partie C - Un problème de distance
On appelle (\Gamma) la courbe représentative, dans un repère orthonormal, de la fonction \varphi définie sur l'intervalle ]0 ; +\infty[ par
\varphi(x) = 2\ln x.
L'objectif de cette partie est de démontrer que parmi les points de la courbe (\Gamma), il y en a un et un seul qui est plus proche de l'origine O que tous les autres.

1. Soient M un point de la courbe (\Gamma) et x son abscisse. Exprimer OM en fonction de x.

2. a) Soit h la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +\infty[ par
h (x) = x^2 + 4(\ln x)^2.
Étudier les variations de la fonction h. On pourra utiliser la partie A.
b) En déduire qu'il existe un unique point A de la courbe (\Gamma) tel que pour tout point M de (\Gamma), distinct de A, on ait OM > OA.

3. Démontrer que la droite (OA) est perpendiculaire à la tangente T_{\text{A}} à la courbe (\Gamma) au point A.

[vincentroumezy]

Bonsoir.
Où bloques tu ?

[Domy12]

Bonsoir.
Où bloques tu ?

La je suis en train de chercher : la 1 j'ai trouvé, facile, mais la 2, je ne vois pas comment trouver la solution de f (x) =0 . Faut-il chercher un discriminant ? Mais ce n'est pas une fonction polynôme :/

[low geek]

Bonjour,
théorème des valeurs intermédiaires ;)
Petu être que tu ne l'a pas encore fait (en gros si une fonction continue est strictement croissante/décroissante sur un intervalle alors elle "balaye" toutes les images qui sont entre les 2 bornes je vois pas si j'explique clairement)