Existence d'une racine

[johnny321]

Bonsoir!

Voila, j'ai un DM pour mardi sur les limites de fonction, racines tout ça.. Je bloque sur cet exercice:

Soit n un entier non nul. Démontrer que l'inéquation x^n^+1-2x^n+1=0
admet une solution comprise entre (2n)/(n+1) et 2.

J'ai déjà fait la dérivée de la fonction mais je n'arrive pas à faire le tableau..

Merci de m'aider .

[chan79]

salut
c'est faux si n=-2
Si n est un entier naturel, il faut le préciser.
Sinon, étudie la fonction sur [1;2].
Valeur particulière de x: 2n/(n+1) qui annule la dérivée

[johnny321]

Bonsoir, j'ai fait un tableau de variation pour n pair et un autre pour n impair. Est-ce correct? Puis j'ai trouvé que si n pair alors f(x) et si n est impair alors f(x) est croissante.
Comment avez vous trouvé que (2n)/(n+1) annulait la dérivée? Fallait-il deviner et juste calculer? je pense avoir trouvé la solution (1) mais je ne sais pas comment la rédiger...

[chan79]

Montre que et et

Vois les variations de

[johnny321]

Pour montrer que f(1)=0 par exemple, nous remplaçons x par 1, mais qu'est-ce que cela va nous apporter?

[chan79]

Quel est le signe de la dérivée entre 1 et 2n/(n+1)?

[johnny321]

Elle est négative entre 1 et 2n/(n+1) et positive entre 2n/(n+1) et +oo.

[chan79]

oui et quels sont les signes de f(2n/(n+1)) et de f(2) ?