Exercices à vérifier en vue d'un DS

[Sophie74]

Bonsoir à tous,

Je viens ici dans le but de préparer un DS qui a lieu Mercredi. J'ai pas mal réviser, et j'ai besoin d'avoir certaines confirmations par rapport à mon travail. Merci de corriger ce que j'ai fais ou de m'aider dans le cas d'une incompréhension, bisous.

Exercice 1 :
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=20x^4-6x+1 Trouver la primitive F de f telle que F(1)=6.

F= 20^5/5 - 6x²/2 + x + C
F= 20^5/5 - 6*1^2/2 + 1 + C
Pour trouver F(1)=6, je dois remplacer les x par 1, mais si je fais ça, je tombe sur un très gros nombre...

Exercice 2 :
Calculer la fonction dérivée de la fonction définie sur R par f(x)= (3x²+2x+1)^4

f'(x)= 4*(6x+2)*(3x²+2x+1)^3

Exercice 3 :
Trouver les primitives de la fonction f définie sur R par f(x)=(3x²+2x)(x^3+x²-5)

Posons u(x)=x^3+x²-5 et u'(x)=(3x²+2x)
Alors f=uu' et F = u²/2+C
F(x)= (x^3+x²-5)² / 2 + C
Pourquoi dans la question c'est "leS primitiveS?"

Exercice 4 : Trouver les primitives de la fonction f définie sur R par f(x)= 2x/(x²+1)²

Posons u(x)=x²+1 et u'(x)=2x
Alors f=u'/u² et F= -1/u
F(x)= -1/(x²+1)

Exercice 5 :
Calculer la limite en +inf de la fonction f défnie sur R par f(x)= 3x²-2x+1/(x²-x-1)
lim de 3x² quand x tend vers + inf = +inf
limite de -2x quand x tend vers + inf = -inf
limite de 1 quand x tend vers + inf= +inf

limite de x² quand x tend vers +inf=+inf
limite de -x quand x tend vers + inf = -inf
limite de -1 quand x tend vers + inf = -inf

donc limite de f(x) quand x tend vers + inf = -inf
C'est assez justifié?

Exercice 6 :
Calculer la limite en -1 de la fonction f définie sur ]-1;+inf[ par f(x)=x(x+3)/(x+1)

limite de x quand x tend vers -1 = -1
limite de 3 quand x tend vers -1 = -3
limite de 1 quand x tend vers -1 = -1

donc limite de f(x) quand x tend vers -1 = -inf

Exercice 7 :
Soit f la fonction définie sur ]0;+inf[ par f(x)=3x-7 + x/(x²+x) Montrer que la droite delta d'équation y = 3x-7 est une asymptote oblique à la courbe représentative de f en +inf.

Si la limite de f(x)-(ax+b)=0 alors c'est une asymptote oblique
[3x-7 + x/(x²+x)] - 3x-7
Et là... J'ai besoin d'aide !

Exercice 8 :
Étudier le signe de la fonction f définie sur ]-1;+inf[ par f(x)= [(2x-4)(6-2x)]/1+x
http://img189.imageshack.us/img189/9756/sanstitremn.jpg : j'ai fais un tableau de signe !

Exercice 9 :
Un capital est placé sur un compte à intérêts composés et rapporte 6% d'intérêts par an. Quel est le taux d'augmentation du capital en 3ans?

1.06^3=1.19 En 3 ans, le capital aura augmenter d'environ 19%

Exercice 10 :
Un capital placé à t% par an sur un compte à intérêt composés augmente de 10% en 2 ans. Quelle est la valeur de t ?
t=1.1^2=1.21=21%

Merci d'avance d'avance pour votre aide!

[bombastus]

Bonsoir,

Exercice 1 :
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=20x^4-6x+1 Trouver la primitive F de f telle que F(1)=6.

F= 20x^5/5 - 6x²/2 + x + C
F= 20x^5/5 - 6*1^2/2 + 1 + C
Pour trouver F(1)=6, je dois remplacer les x par 1, mais si je fais ça, je tombe sur un très gros nombre...

Tu as oublié des x (en rouge), maintenant le nombre devrait être plus petit.

Exercice 3 :
Trouver les primitives de la fonction f définie sur R par f(x)=(3x²+2x)(x^3+x²-5)

Posons u(x)=x^3+x²-5 et u'(x)=(3x²+2x)
Alors f=uu' et F = u²/2+C
F(x)= (x^3+x²-5)² / 2 + C
Pourquoi dans la question c'est "leS primitiveS?"

Car tu as trouvé une infinité de primitives définis à une variable près (C). C'est pourquoi dans l'exo 1, l'énoncé parle de la primitive telle que F(1)=6

Les exos 2 et 4 sont justes

Exercice 5 :
Calculer la limite en +inf de la fonction f défnie sur R par f(x)= 3x²-2x+1/(x²-x-1)
lim de 3x² quand x tend vers + inf = +inf
limite de -2x quand x tend vers + inf = -inf
limite de 1 quand x tend vers + inf= +inf

limite de x² quand x tend vers +inf=+inf
limite de -x quand x tend vers + inf = -inf
limite de -1 quand x tend vers + inf = -inf

donc limite de f(x) quand x tend vers + inf = -inf
C'est assez justifié?

Non là, tu trouves plein de formes indéterminées... Comment fait-on pour lever l'indétermination dans les fonctions rationnelles?

Exercice 6 :
Calculer la limite en -1 de la fonction f définie sur ]-1;+inf[ par f(x)=x(x+3)/(x+1)

limite de x quand x tend vers -1 = -1
limite de 3 quand x tend vers -1 = -3
limite de 1 quand x tend vers -1 = -1

Euh, je ne comprends pas trop ce que tu as écrit :
La limite de x quand x tend vers -1 est bien -1.
Mais quelle est la limite de x+3 quand x tend vers -1?
Mais quelle est la limite de x+1 quand x tend vers -1?

Exercice 7 :
Soit f la fonction définie sur ]0;+inf[ par f(x)=3x-7 + x/(x²+x) Montrer que la droite delta d'équation y = 3x-7 est une asymptote oblique à la courbe représentative de f en +inf.

Si la limite de f(x)-(ax+b)=0 alors c'est une asymptote oblique
[3x-7 + x/(x²+x)] - 3x-7

Oui et le calcul de la limite?

[Sophie74]

Tout d'abord, merci pour ton aide :we:

Pour l'exercice 1, je trouve C=4.

Après, l'exercice 5, je ne sais pas répondre à ta question...

Exercice 6 :
f(x)=x(x+3)/(x+1)

limite de x quand x tend vers -1 = -1
limite de x+3 quand x tend vers -1 = 2
limite de x+1 quand x tend vers -1 = 0

donc limite de f(x) quand x tend vers -1 = (1*2)/0 ce qui est impossible... Donc là je vois pas ! :doh:

Exercice 7 : ici je bloque complétement, je ne comprends pas comment appliquer la formule...
Merci encore pour ton aide en attendant ! :happy2:

[bombastus]

Après, l'exercice 5, je ne sais pas répondre à ta question...

Comence par chercher les limites en +infini:
de 3x²-2x
et de 1/(x²-x-1)
Quelles sont ces 2 limites?

limite de x quand x tend vers -1 = -1
limite de x+3 quand x tend vers -1 = 2
limite de x+1 quand x tend vers -1 = 0

Ces limites sont justes. Mais tu ne peux pas écrire :
limite de f(x) quand x tend vers -1 = (1*2)/0
car x+1 tend vers 0 mais n'est pas égal à 0 (d'ou la notion de limite)
Et normalement tu sais calculer cette limite par exemple :
???

Exercice 7 : ici je bloque complétement, je ne comprends pas comment appliquer la formule...
Merci encore pour ton aide en attendant ! :happy2:

As-tu essayé de calculer la limite de [3x-7 + x/(x²+x)] - 3x-7 ? (commences déjà par simplifier l'expression)

[Sophie74]

Exercice 5
limites en +infini:
de 3x²-2x :+inf
et de 1/(x²-x-1) : -inf

Exercice 6 :
la limite de ton exemple est -infinie, car c'est la dérivé du logarithme :)
Je sais, je ne met pas égal, mais j'arrive pas à bien écrire sur ordinateur, par contre je sais comment rédiger sur ma feuille :we:
donc ça tend vers 0, ok

Exercice 7 : 3x-7 + x/(x²+x) - 3x-7
= x/(x²+x)
limite de x quand il tend vers +inf c'est +inf
limiet de x², pareil
Donc l'expression tend vers +inf
Par contre, je ne comprends pas comment faire l'asymptote

Et les exercices 8, 9, 10 sont justes?

[bombastus]

Non, ça m'a l'air un peu confus tout ça. Essaie de trouver une logique dans le calcul des limites.

Exercice 5
limites en +infini:
de 3x²-2x :+inf
et de 1/(x²-x-1) : -inf

la limite de 3x²-2x est bien +inf
Mais la limite de 1/(x²-x-1) n'est pas -inf... Quelle est la limite de x²-x-1? donc la limite de 1/(x²-x-1)?

Exercice 6 :
la limite de ton exemple est -infinie, car c'est la dérivé du logarithme
Je sais, je ne met pas égal, mais j'arrive pas à bien écrire sur ordinateur, par contre je sais comment rédiger sur ma feuille :we:
donc ça tend vers 0, ok

Je ne suis pas sûr que tu ais compris le lien avec la dérivée du logarithme (même si effectivement 1/x est la dérivée de ln), mais bon on pas besoin de parler du logarithme ici...
1/x ne tends pas vers -infini quand x tend vers 0+. Imagine : tu divises par un nombre très très petit qui est positif donc ça tend vers....

Exercice 7 : 3x-7 + x/(x²+x) - 3x-7
= x/(x²+x)
limite de x quand il tend vers +inf c'est +inf
limiet de x², pareil
Donc l'expression tend vers +inf
Par contre, je ne comprends pas comment faire l'asymptote

Non tu as une forme indéterminée : +inf/+inf.
Dans ce genre de fonction, l'astuce pour lever l'indétermination est de factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

[bombastus]

Ok pour le 8 et le 9.

Pour le 10 tu trouves cela logique qu'un capital augmente de 10% en 2 ans avec une augmentation de 21% par an ? :doh:

[Sophie74]

Je vais aller me coucher, car je commence à être morte... :hein: :we:

Si tu as le temps, tu peux me donner les réponses de l'exercice 5 à 10, que je puisse les étudier demain dans la journée (avec un téléphone portable doté d'une connexion internet). Parce que mon DS est après demain. Si tu n'as pas le temps (ce que je comprendrai :++: ), il n'y a pas de soucis.

Merci encore pour l'aide, bonne nuit ! :dodo:

[bombastus]

Et bien bonne nuit à toi!

Pour ce qui de ta requête, non je ne peux pas te donner donner les réponses car je pense pas que lire des solutions te soit d'une grande aide pour ton ds. J'imagine que tu dois avoir un tas d'éxo corrigés du même style dans tes cours, donc je te conseille de les comprendre et d'arriver à faire ces éxos par toi-même. Il n'y a que comme cela que tu sauras les refaire en DS.

[Sophie74]

ok, je reviendrais ce soir, il reste le 5-6-7-10!

bonne journée!

[oscar]

bjr

Ex 5) lim ( 3x² -2x+1)/ ( 2x² -x-1) si x----> oo

Diviser touscles termes par x² : lim f = lim ( 3- 2/x +1/x²) / ( 2 -1/x -1/x²)
lim f = 3/2 si x--> oo

ex 5)

lim x(x+3) /(x+1)
Signe x+1 .............-1........... x
................-----------0++++++

lim f si x --> -1, x>-1 = -1*2 / O+ = -oo
......................x<-1, f ---> +oo

[bombastus]

Salut Oscar,

bjr

Ex 5) lim ( 3x² -2x+1)/ ( 2x² -x-1) si x----> oo

Diviser touscles termes par x² : lim f = lim ( 3- 2/x +1/x²) / ( 2 -1/x -1/x²)
lim f = 3/2 si x--> oo

Tu as modifié la fonction de Sophie74, et je ne sais pas si c'est ou non une erreur de frappe de Sophie74 :
la fonction est
( 3x² -2x+1)/ ( 2x² -x-1)
ou
3x² -2x+1/ ( 2x² -x-1)
????
C'est à Sophie74 de nous le dire...

ex 7)
lim x(x+3) /(x+1)
Signe x+1 .............-1........... x
................-----------0++++++

lim f si x --> -1, x>-1 = -1*2 / O+ = -oo
......................x +oo

Pas besoin d'étudier les 2 cas ici, la fonction est définie sur ]-1;+infini[...

[Sophie74]

Je retape les exercices à faire, excusez moi pour la faute (par contre c'est pas 2x² mais x²!)

Exercice 5 :
Calculer la limite en +inf de la fonction f défnie sur R par f(x)= (3x²-2x+1)/(x²-x-1)

Exercice 6 :
Calculer la limite en -1 de la fonction f définie sur ]-1;+inf[ par f(x)=[x(x+3)]/(x+1)

Exercice 7 :
Soit f la fonction définie sur ]0;+inf[ par f(x)=3x-7 + x/(x²+x) Montrer que la droite delta d'équation y = 3x-7 est une asymptote oblique à la courbe représentative de f en +inf.

Exercice 10 :
Un capital placé à t% par an sur un compte à intérêt composés augmente de 10% en 2 ans. Quelle est la valeur de t ?

J'ai un peu besoin d'aide :)

[Sophie74]

pour l'exercice 10 :

1.10^1/2 = 1.04
la valeur de t est d'environ 4%

juste?

et pour l'exercice 7, la fonction est définie sur ]0;+inf[, non pas sur ]-1;+inf[

[bombastus]

Je retape les exercices à faire, excusez moi pour la faute (par contre c'est pas 2x² mais x²!)

Exercice 5 :
Calculer la limite en +inf de la fonction f défnie sur R par f(x)= (3x²-2x+1)/(x²-x-1)

Ok donc on se trouve dans la même situation que l'exercice 10 :


Donc on tombe sur +inf/+inf ce qui est une forme indéterminé.
Donc il faut que tu factorises par x² au numérateur et au dénominateur, tu simplifie (on peut simplifier par x² car x tend vers l'infini donc n'est pas égal à 0) puis tu recalcules la limite avec cette expression modifiée.

Je n'ai pas le temps d'en faire plus pour le moment, j'essaierai de repasser plus tard...

PS :

et pour l'exercice 7, la fonction est définie sur ]0;+inf[, non pas sur ]-1;+inf[

c'est poi qui ai fait une erreur : je parlais de l'éxo 6 et non 7. Dan l'exo 6 la fonction est bien définie sur ]-1;+inf[.

[Sophie74]

ok, mais juste l'exercice 10 que j'ai fais est juste?

[bombastus]

Oui c'est juste