Exercices Ts.

[Anonyme]

Bonjour, j'ai un petit problème avec un exercice.
Voici l'énoncé:

1 On pose f(x) = x³ + 5x² + 5x + 4
Calculer f(-4) et en déduire les solutions de f(x)=0 dans R.
2 On pose P(z) = 2z^4 + (10-i)z³ + (10-5i)z² + (8-5i)z - 4i
a. L'équation P(z) = 0 admet une solution réelle. Trouvez là ? (Il n'y
en a qu'une).
b. L'équation admet une solution imaginaire pure. Trouvez là.
c. Résoudre dans C P(z) = 0.

Question1:
f(-4) = 0.
On peut donc faire:
f(x) = (x-(-4))(ax²+bx+c)
On développe, puis trouve les valeurs de a, b et c
a=1
b=1
c=1

Donc:
f(x) = (x+4)(x²+x+1)
donc:
x=-4
(On fait delta.. on trouve -3):
x1 = (-1 - i.rac(3))/2
x2 = (-1 + i.rac(3))/2

Mais je ne sais pas comment faire la suite, j'ai développé, mais
l'équation reste difficile à faire, je n'y arrive pas.

[Anonyme]

Alexandre a écrit:
> Bonjour, j'ai un petit problème avec un exercice.
> Voici l'énoncé:
>
> 1 On pose f(x) = x³ + 5x² + 5x + 4
> Calculer f(-4) et en déduire les solutions de f(x)=0 dans R.
> 2 On pose P(z) = 2z^4 + (10-i)z³ + (10-5i)z² + (8-5i)z - 4i
> a. L'équation P(z) = 0 admet une solution réelle. Trouvez là ? (Il n'y
> en a qu'une).
> b. L'équation admet une solution imaginaire pure. Trouvez là.
> c. Résoudre dans C P(z) = 0.
>
> Question1:
> f(-4) = 0.
> On peut donc faire:
> f(x) = (x-(-4))(ax²+bx+c)
> On développe, puis trouve les valeurs de a, b et c
> a=1
> b=1
> c=1
>
> Donc:
> f(x) = (x+4)(x²+x+1)
> donc:
> x=-4
> (On fait delta.. on trouve -3):
> x1 = (-1 - i.rac(3))/2
> x2 = (-1 + i.rac(3))/2

on te demande si f(x) = 0 admet des solutions dans R. -4 est donc la
seule solution de cette équation dans R (il suffit de dire que f est
strictement croissante et continue donc ne s'annule qu'une fois, ou
alors de factoriser comme tu l'as fait et de dire que delta Mais je ne sais pas comment faire la suite, j'ai développé, mais
> l'équation reste difficile à faire, je n'y arrive pas.[/color]

tu dois reconnaitre que P(z) = 2*z*f(z) - i*f(z).
En factorisant cette expression tu peux arrivr à un produit de deux
facteurs, donc P(z) est nul ssi un des deux facteurs est nul. Tu as une
solution réelle (trouvée au 1), une imaginaire pure, et 2 autres
solutions complexes (x1 et x2)

--
albert

[Anonyme]

Dans le message news:41691873$0$26806$626a14ce@news.free.fr,
Alexandre a écrit:
> Bonjour, j'ai un petit problème avec un exercice.
> Voici l'énoncé:
>
> 1 On pose f(x) = x³ + 5x² + 5x + 4
> Calculer f(-4) et en déduire les solutions de f(x)=0 dans R.
> 2 On pose P(z) = 2z^4 + (10-i)z³ + (10-5i)z² + (8-5i)z - 4i
> a. L'équation P(z) = 0 admet une solution réelle. Trouvez là ? (Il n'y
> en a qu'une).
> b. L'équation admet une solution imaginaire pure. Trouvez là.
> c. Résoudre dans C P(z) = 0.
>
> Question1:
> f(-4) = 0.
> On peut donc faire:
> f(x) = (x-(-4))(ax²+bx+c)
> On développe, puis trouve les valeurs de a, b et c
> a=1
> b=1
> c=1
>
> Donc:
> f(x) = (x+4)(x²+x+1)
> donc:
> x=-4
> (On fait delta.. on trouve -3):
> x1 = (-1 - i.rac(3))/2
> x2 = (-1 + i.rac(3))/2
>
> Mais je ne sais pas comment faire la suite, j'ai développé, mais
> l'équation reste difficile à faire, je n'y arrive pas.

Bonjour,
Tu peux remarquer que P(z) s'écrit:
P(z) = 2 z f(z) - i f(z) = (2z - i) f(z)

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

Si je ne fais pas d'erreurs, on devrait avoir:
P(z) = 2(z-1) ( z³ + 5z² + 5z + 4)

a. La solution réelle est -4.
b. La solution imaginaire pure est:
2z - i = 0 => z = i/2
c. (2z-i)( z³ + 5z² + 5z + 4) = 0
Donc les solutions sont:
i/2 ; -4 ;(-1 - i.rac(3))/2 ;(-1 + i.rac(3))/2

[Anonyme]

Un auter exercice me pose des problèmes.

Pour z différent de i on pose Z = (z+2i)/(1-iz).
Déterminer et représenter dans chaque cas l'ensemble des points M
d'affixe z tels que:

1. Z est réel.

2. Un argument de Z est -pi/2

3. Le point d'affixe Z est sur le cercle de centre A d'affixe i et de
rayon 1/2

4. Les points A (i), M(z), N(Z) sont alignés.

5. M(z) et N(Z) sont confondus.

Voilà.
Je ne comprends pas, comment faut-il procéder ?, doit-on développer z
(z=x+iy) ?, ..

Merci

[Anonyme]

"Alexandre" a écrit dans le message de news:
4169405b$0$24692$636a15ce@news.free.fr...
> Un auter exercice me pose des problèmes.
>
> Pour z différent de i on pose Z = (z+2i)/(1-iz).
> Déterminer et représenter dans chaque cas l'ensemble des points M d'affixe
> z tels que:
>
> 1. Z est réel.
>
> 2. Un argument de Z est -pi/2
>
> 3. Le point d'affixe Z est sur le cercle de centre A d'affixe i et de
> rayon 1/2
>
> 4. Les points A (i), M(z), N(Z) sont alignés.
>
> 5. M(z) et N(Z) sont confondus.
>
> Voilà.
> Je ne comprends pas, comment faut-il procéder ?, doit-on développer z
> (z=x+iy) ?, ..
>
> Merci

Oui, poser z=x+iy puis remplacer dans l'expression de Z et annuler la partie
imaginaire pour trouver une condition sur x et y ...

[Anonyme]

> Oui, poser z=x+iy puis remplacer dans l'expression de Z et annuler la partie
> imaginaire pour trouver une condition sur x et y ...

Z = (z+2i)/(1-iz)
z= x+iy

Z= (x+ iy + 2i) / (1 - i(x + iy)
= (x + i(y+2)) / ((1-y) - xi)

-xi doit être = 0
i(y+2) doit être = 0

Des égalités précèdentes, j'ai déduis:
x=0
y=2
d'où z = 2i

Mais je ne sais pas si c'est bon et ne sais pas comment faire.

[Anonyme]

Oui, poser z=x+iy puis remplacer dans l'expression de Z et annuler la
partie imaginaire pour trouver une condition sur x et y ...


Z = (z+2i)/(1-iz)
z= x+iy

Z= (x+ iy + 2i) / (1 - i(x + iy)
= (x + i(y+2)) / ((1-y) - xi)

-xi doit être = 0
i(y+2) doit être = 0

Des égalités précèdentes, j'ai déduis:
x=0
y=2
d'où z = 2i

Mais je ne pense pas que ce soit bon.


2. Un argument de Z est -pi/2

Je calcul le module:
|Z| = |(z+2i)/(1-iz)|
= |x + i (y+2)| / |(1 - i(x+iy))|
= (Rac.(x²+(y+2)²)) / (Rac. ((1+y)² + (-x)²)

= (Rac. (x² + y² + 4y + 4)) / (Rac. (1 + 2y + y² + x²))

Ensuite, il faut trouver x et y pour que l'argument soit égal à -pi/2.

arg ( Rac. (x² + y² + 4y + 4)) - arg ( (Rac. (1 + 2y + y² + x²)) = -pi/2

Je n'y arrive pas.
Il doit y avoir une erreur ou une autre façon de procéder,
mais laquelle .. ?


Merci.

[Anonyme]

On Mon, 11 Oct 2004 19:51:41 +0200, Alexandre wrote:

>Oui, poser z=x+iy puis remplacer dans l'expression de Z et annuler la
>partie imaginaire pour trouver une condition sur x et y ...
>
>
> Z = (z+2i)/(1-iz)
> z= x+iy
>
> Z= (x+ iy + 2i) / (1 - i(x + iy)
> = (x + i(y+2)) / ((1-y) - xi)
>
> -xi doit être = 0
> i(y+2) doit être = 0
>
> Des égalités précèdentes, j'ai déduis:
> x=0
> y=2
> d'où z = 2i
>
>Mais je ne pense pas que ce soit bon.
effectivement c'est faux car
si a,b,c,d réels pour que Z=(a+ib)/(c+id)
il n'est pas nécessaire que b=c=0
ex Z=(2-3i)/(4-6i) est réel !

il faut rendre Z algébrique : x haut et bas par c-id
ici par 1-y+xi
et dire que la parytie imaginaire est nulle
>2. Un argument de Z est -pi/2
>
>Je calcul le module:
>|Z| = |(z+2i)/(1-iz)|
>= |x + i (y+2)| / |(1 - i(x+iy))|
>= (Rac.(x²+(y+2)²)) / (Rac. ((1+y)² + (-x)²)
>
>= (Rac. (x² + y² + 4y + 4)) / (Rac. (1 + 2y + y² + x²))
>
>Ensuite, il faut trouver x et y pour que l'argument soit égal à -pi/2.
>
>arg ( Rac. (x² + y² + 4y + 4)) - arg ( (Rac. (1 + 2y + y² + x²)) = -pi/2
là j'ai l'impression que tu confonds Z et |Z|
car le membre de gauche est arg|Z| qui fait 0 puuisque
|Z| est un réel >0
>Je n'y arrive pas.
>Il doit y avoir une erreur ou une autre façon de procéder,
>mais laquelle .. ?
Z d'arg -pi/2 ca veut dire Z imaginaire pur (donc partie réelle nulle)
et de partie imaginaire négative
>
>
>Merci.

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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
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