Exercices sur suites 1ereS

[mode2]

Bonjour
EX1
1. En utilisant la somme des termes d’une suite géométrique, écrire plus simplement l’expression:
1/x + 1/x² + 1/x^3 + 1/x^4 , où x est un réel non nul.

2.Dans cette question et dans toute la suite, x est un réel vérifiant:
1/x +1/x² +1/x^3 +1/x^4 = 0
Montrer que x<0

3.Résoudre l’équation 1/x +1/x² +1/x^3 +1/x^4 = 0

Indication du prof: pour la question 2 il est inutile d’utiliser la question 1: penser à la parité des exposants

Pour la 1. j'ai donc trouvé que la suite est géométrique. La raison de la suite géométrique serait 1/x et le premier 1/x donc la somme est
S=(1/x)*[ [1-1/x^4 ]/[ 1- 1/x ] ] pour x différent de 0 et x différent de 1 mais après j'ai du mal à simplifier j'ai trouvé S= (x^4 -1)/ (x^4(x-1)) avec x#0 et x#1 mais je ne suis pas sure
Pour la 2. je ne sais pas comment expliquer

EX 2
Soit (Un) la suite définie par U0=0, U1=1 et, pour tout n € N, Un+2=Un+1+Un (1)

1.Calculer U2 ,U3, U4, U5
2..Soit ;) et ;) les deux racines de l’équation :
x² -x -1 =0
Donner les valeurs exactes de ;) et ;) ( on notera ;) la plus petite valeur)
3.Montrer que la suite définie pour tout n € N, par Vn = ;);)^n + ;);)^n est solution de (1)
4.Déterminer ;) et ;) telles que V0=U0 et V1=U1. On admet désormais que, pour tout n € N, Un =Vn
Indication du prof Question 3: il est inutile d’utiliser les valeurs exactes de ;) et ;) trouvées dans la question précédente
on utilisera le fait que ;) et ;) sont solutions de x² - x- 1=0, ce qui donne x² = x+1.

J'ai trouvé U2=1 U3=2 U4=3 U5=5
Les deux racines ;)=1-V5/2 et ;)=1+V5/2
Mais après je ne sais pas quoi faire pour les questions 3 et 4

[Sa Majesté]

Pour la 1. j'ai donc trouvé que la suite est géométrique. La raison de la suite géométrique serait 1/x et le premier 1/x donc la somme est
S=(1/x)*[ [1-1/x^4 ]/[ 1- 1/x ] ] pour x différent de 0 et x différent de 1 mais après j'ai du mal à simplifier j'ai trouvé S= (x^4 -1)/ (x^4(x-1)) avec x#0 et x#1 mais je ne suis pas sure
Pour la 2. je ne sais pas comment expliquer

Pour S c'est bon
Pour la 2, si x était positif, comment serait 1/x ?
Comment serait 1/x², 1/x^3, 1/x^4 ?

3.Montrer que la suite définie pour tout n € N, par Vn = ;)^n + ;)^n est solution de (1)
4.Déterminer et telles que V0=U0 et V1=U1. On admet désormais que, pour tout n € N, Un =Vn
Indication du prof Question 3: il est inutile d’utiliser les valeurs exactes de et trouvées dans la question précédente
on utilisera le fait que et sont solutions de x² - x- 1=0, ce qui donne x² = x+1.

J'ai trouvé U2=1 U3=2 U4=3 U5=5
Les deux racines =1-V5/2 et =1+V5/2
Mais après je ne sais pas quoi faire pour les questions 3 et 4

Pour la 3, il suffit de montrer que Vn vérifie la relation de récurrence

[mode2]

Si on prend x supérieur à 0 alors le resultat qu'on trouve est positif (par ex si x=2 alors on trouve 15/16) donc pour que l'équation s'annule il faudrait que x soit inférieur à 0 et c'est le cas vu que c'est dans l'enonce.
Par contre j'ai un peu de mal à résoudre l'equation 3.


Merci pour votre aide

[Sa Majesté]

Pour la 3, il suffit de montrer que Vn vérifie la relation de récurrence