Voici plusieurs exercices que je viens de recevoir ils portent tous sur des ROC et donc je vous poste ce sujet pour que vous sachiez sur quoi je vais avoir besoin de votre aide. Voilà donc le sujet. Et je vais maintenant y réfléchir et je vous retiens au courant. Merci d'avance pour l'aide que vous me porterez.
Exercice n°1 :
Pré requis : la fonction exponentielle, notée exp, a les trois propriétés suivantes:
1. exp est une fonction dérivable sur R;
2. sa fonction dérivée, notée exp', est telle que, pour tout nombre réel x , exp'(x) = exp(x) ;
3. exp(0) = 1
En n'utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, il s'agit de démontrer que:
- Pour totu nombre réel x, exp(x) x exp (-x) =1
- Pour tout nombre réel a et tout nombre réel b , exp (a+b) = exp(a) x exp (b).
Pour cela, on considère la fonction g telle que tout y appartient R, tout x appartient à R, g(x) = exp (x+y) x exp (-x)
Montrer que g est une fonction constante et en déduire les résultats demandés.
Exercice n°2 :
Pré requis : la fonction logarithme népérien, notée ln , a les deux propriétés suivantes:
1. ln (xy) = ln x + ln y , tout y >0 et tout x >0 .
2. ln 1 =0
En n'utilisant que ces deux propriétés de la fonction ln, démontrer que:
* ln 1/x = -ln x
* ln y/x = lny - lnx
* ln racine x = 1/2 lnx
Exercice n°3 :
Pré requis:
1. lin (x-> +oo) f(x) = +oo signifie que, pour tout réel A, il existe un réel B, tel que si x>B, alors f(x) >A
2. ln est strictement croissante sur ] 0; +oo[
3. tout y appartient R, y=ln e^y
Démontrer à l'aide de ces trois propriétés que lin (x->+oo) lnx = +oo
Exercice n°4:
Pré requis:
1. ln est dérivable sur ]0;+oo[ et ln'(x) = 1/x
2. tout y appartient R , y = ln e^y
3. Le théorème " des gendarmes en +oo"
On considère la fonction f définie sur ]1;+oo[ par f(x) = lnx / racine x ; montrer que o