DM: Exercices sur le produit scalaire

[YounesLahouiti]

Bonjour, j'ai 2 exercices à faire et j'aurais besoin d'aide, voici leurs énoncés:





Pour l'exercice n°1 (65):

a)
AC • AD = 1/2 (AC^2 + AD^2 - CD^2) = 1/2( 45 + 6^2 - 3^2) = 72/2 = 36

b)
CA • DB = CA • (DA + AB) = CA • DA + CA • AB = 36 - 24 = 12

c) (la où je bloque)
AO × OB × cos(AÔB) (?)

Exercice n°2 (85):

Les droites (DH) et (CE) semblent être perpendiculaires, si c'est le cas alors les vecteurs DH et CE sont orthogonaux et font 0 (DH • CE = 0)
Est-ce que ce raisonnement est correct?

[capitaine nuggets]

Salut !

Exercice 68 : a) C'est correct, mais il y a plus simple. est le projeté orthogonal de sur donc , et .
b) Le problème c'est que tu ne justifie pas que .
c) Remarque que et .

Exercice 85 : Là ton "raisonnement" n'est pas correct puisque tu conjectures que les droites sont perpendiculaires et tu le traduis en termes de produit scalaire, mais au final tu n'as rien montré.

[YounesLahouiti]

Salut !

Exercice 68 : a) C'est correct, mais il y a plus simple. est le projeté orthogonal de sur donc , et .
b) Le problème c'est que tu ne justifie pas que .
c) Remarque que et .

Exercice 85 : Là ton "raisonnement" n'est pas correct puisque tu conjectures que les droites sont perpendiculaires et tu le traduis en termes de produit scalaire, mais au final tu n'as rien montré.

Je te remercie pour ta réponse!
Du coup j'ai terminé l'exercice 1

Exercice n°1 (68):
a)
J'ai trouvé AC^2 = 45 grâce au Théorème de Pythagore

b) CA • AB = 1/2 (CA^2 + AB^2 - CB^2) = 1/2(45 + 64 - 61) = 48/2 = 24
CB^2 = 61 grâce encore au Théorème de Pythagore

c) Du coup cela fait
√(45) × 10 × cos (0) ≈ 67°

Exercice n°2 (86):

Bon pour cet exercice je ne sais que faire...

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Exercice n° 85 .

Soit le symétrique du point par rapport au point .

Considérons le repère orthonormé ; donc on a :
, , , , , et avec .

L'équation réduite de la droite est : et l'équation réduite de la
droite est : .

Le point est l'intersection des droites et ; donc on a :
;
donc : et .

Les coordonnées du vecteur sont : et ;
et les coordonnées du vecteur sont : et

Conclusion :
;
donc les droites et sont perpendiculaires .

[YounesLahouiti]

Bonjour ;

Exercice n° 85 .

Soit le symétrique du point par rapport au point .

Considérons le repère orthonormé ; donc on a :
, , , , , et avec .

L'équation réduite de la droite est : et l'équation réduite de la
droite est : .

Le point est l'intersection des droites et ; donc on a :
;
donc : et .

Les coordonnées du vecteur sont : et ;
et les coordonnées du vecteur sont : et

Conclusion :
;
donc les droites et sont perpendiculaires .

Je te remercie énormément
J'ai demandé à mon professeur si j'avais juste sur les deux exercices, dans le deuxieme pas de spuci mais dans premier j'ai le problème à la partie b) et c) je ne pas prouver que c'est égale à -24 et le "cos(0)" est faux

[chan79]

je ne pas prouver que c'est égale à -24 et le "cos(0)" est faux

car ces vecteurs sont colinéaires et de sens opposés

[aymanemaysae]

Bonjour ;


Pour la question b , tu avais vu juste sauf qu'il te manquait un "-" au début .
CA • AB = - AC . AB =- 1/2 (CA^2 + AB^2 - CB^2) .

Le triangle est rectangle en , donc en appliquant le théorème de Pythagore , on a :
.

Soit la projection orthogonale de sur , donc on a : .
Le triangle est rectangle en , donc en appliquant le théorème de Pythagore , on a :
.

On a :
.

[YounesLahouiti]

je ne pas prouver que c'est égale à -24 et le "cos(0)" est faux

car ces vecteurs sont colinéaires et de sens opposés

Merci tous! Je trouve l'angle environ égal à 79°
(Arccos ( √(20)/25))

[chan79]

On trouve en degrés 79,69...
Donc, quel est l'arrondi au degré près ?

[chan79]

Variante pour le 2
(AB) et (FG) se coupent en I. Les carrés ont comme côtés a et b.

On montre avec le produit scalaire que (ID) et (EC) sont perpendiculaires:
.
Il reste à démontrer que I, D et H sont alignés.
Pour cela (je ne mets pas les calculs trop pénibles), on trouve:

puis


C'est nettement plus simple avec un repère et les équations de droites.

[chan79]

Salut
Dernière contribution sur ce sujet

On démontre facilement que (FC) et (IE) sont perpendiculaires ainsi que (EB) et (CI).
H est donc l'orthocentre du triangle CEI et (IH) est perpendiculaire à (EC).
Comme (ID) est aussi perpendiculaire à (EC) (voir le message précédent), on peut dire que (DH) est perpendiculaire à (EC).
Moralité: Ne pas hésiter à ajouter des éléments à une figure.