Exercices sur les suites 1ereS

par **sophie1592** » 15 Avr 2009, 13:34

J'ai cet exercice à faire pour la rentrée mais je n'y arrive vraiment pas. pouvez vous m'aidez s'il vous plait. :help:

La spirale ci-après est construite de la façon suivante: à partir du triangle équilatéral ABC, on a construit un arc de cercle de centre A, puis un arc de cercle de centre B, ensuite un arc de cercle de centre C, enfin un nouvel arc de cercle de centre A.
En imaginant que l'on répète le procédé, on trace un sucession d'arcs de cercle (Cn) de centres A, B ou C.
On note rn le rayon de l'arc de cercle (Cn) et ln la longueur de cet arc.

[url="http://img15.imageshack.us/img15/9209/spirale.gif"]http://img15.imageshack.us/img15/9209/spirale.gif[/url]

1)Identifier la suite (rn) des rayons successifs
2)Exprimer ln en fonction de rn et préciser la nature de la suite (ln)
3)Quelle est la longueur de la spirale tracée ci-dessus?
4)Quelle est la longueur de la spirale obtenue en traçant dix arcs de cercles?

par **sb30** » 15 Avr 2009, 16:27

Bonjour Sophie,

Tu as la chance d'être la première personne que j'aide sur ce forum.

Je vais tâché d'expliquer la démarche à suivre :
Pour définir une suite il faut d'abord regarder comment se comporte les premières valeurs, ici le rayon :
pour n=1, r1 = [AC]
pour n=2, r2 = [AB] + r1 or [AB]=r1 donc r2 = 2*r1
pour n=3, r3 = 3*r1
...
on peut donc supposer que rn = n * r1 :id:
on le démontre en posant r(n+1) = rn + r1 = n*r1 + r1 = (n+1)*r1 :zen:

Pour l'arc : un arc = angle qui le défini * le rayon
ici, l1 = (2Pi/3) * r1
l2 = l1 + (2Pi/3) * r2
...
ln = l(n-1) + (2Pi/3) * rn et l0 = 0

Je te laisse faire la "suite" (jeu de mot !).

par **sophie1592** » 15 Avr 2009, 17:30

Merci beaucoup pour votre aide.
Pour la question 2 je trouve donc que la suite est arithmétique car :
Ln= l(n-1)+(2pi/3)*rn
Ln+1= ln+(2pi/3)*rn

Ln+1-Ln= Ln+(2pi/3)*rn - (l(n-1)+(2pi/3)*rn) = ln+(2pi/3)*rn-l(n-1)-(2pi/3)*rn= ln -l(n-1) = ln-ln+l1= l1

Donc comme la différence ln+1-ln est constant la suite (ln) est arithmétique de raison l1

est ce que c'est le bon résultat ?

Pour la question 3 et 4 je pense alors a la somme ?

par **sb30** » 16 Avr 2009, 07:47

Ca m'a l'air d'être bon comme démo.

Pour tes questions 3 et 4 il n'y a pas besoin de faire la somme il suffit de faire l(4) et l(10) puisque ln correspond déjà à la somme des arcs successifs.

Y'a plus qu'a ... :zen:

par **sophie1592** » 19 Avr 2009, 11:02

Merci beaucoup .
Comment calculé L4 et L10 car on ne connait pas la longueur Ab ou R1

par **sb30** » 19 Avr 2009, 12:59

sophie1592 a écrit:Merci beaucoup .
Comment calculé L4 et L10 car on ne connait pas la longueur Ab ou R1

Bonjour,
Si tu n'a pas la valeur de AB tu ne peut effectivement pas donner une valeur numérique, par contre tu peut exprimer la longueur de la spirale en fonction de AB ou r1.

par **sophie1592** » 19 Avr 2009, 15:35

Donc il faut d'abord calculer l1 l2 l3 l4 ... l9

l1 = 2pi/3 * r1
l2= 2pi/3*r1 + 4pi/3 * r1 = 6pi/3 *r1
l3= 2pi/3*r1 + 4pi/3 * r1 + 6pi/3 * r1 = 12pi/3 * r1

Donc l4 = l(4-1) +2pi/3 * r4 = l3 + 2pi/3 *4* r1 = 12pi/3* r1 + 8pi/3 * r1 = 20pi/3 * r1

La longueur de la spirale est donc de 20pi/3 * r1

l5= 20pi/3*r1 + 10pi/3 * r1 = 30 pi / 3 *r1
l6= 30pi/3 * r1 + 12pi/3 * r1 = 42 pi /3 *r1
l7= 42pi/3*r1+ 14pi/3*r1= 56pi/3*r1
l8= 56pi/3*r1 + 16 pi/3 * r1 = 72pi/3*r1
l9= 72pi/3*r1 + 18pi/3*r1= 90pi/3*r1

Donc l10= l(10-1) + 2pi/3 * r10 = l9+ 2pi/3*10* r1 = 90pi/3*r1 + 20pi/3 * r1 = 110pi/3*r1

donc la longueur d la spirale obtenue en tracan dix arcs de cercle est de 110pi/3*r1

Faut -il trouver ce résultat ?

par **Sa Majesté** » 19 Avr 2009, 15:43

Oui c'est bon
Mais tu peux faire plus simple que de calculer tous les ln

car

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