Exercices sur les fonctions

[Yanalou]

Bonsoir,
Petit exercice de mathématiques qui pose problème...

Soit f la fonction définie par f(x) = 2x-x² et C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (unité:5cm)

1. Donner l'ensemble de définition de f.
Ok. J'ai trouvé D=[0,2] (avec tableau de signes)

2. Justifier que la droite d'équation x=1 est axe de symétrie pour la courbe C.
Problème! Je ne vois pas comment on peut faire

3. Déterminer les variations de la fonction h:x -> 2x-x².
Je pense qu'il faut décomposer en deux fonctions :
u(x) = 2x et v(x) = -x²
u(x) est srictement croissante sur
v(x) a des sens de variations contraires à la fonction carré.
v(x) est srictement décroissante sur [0,+[
v(x) est strictement croissante sur ]-,0]

f(x) est strictement décroissante sur [0,+[ et croissante sur ]-,0]. Je ne suis pas sûre du résultat!

4. En utilisant un théorème de composition, justifier que f est strictement croissante sur [0,1].
Je n'arrive pas cette question. J'ai essayé plusieurs méthodes mais je n'arrive pas à ce résultat.

Merci de votre aide.

[Noemi]

Le domaine de définition est R l'ensemble des réels.
Pour l'axe de symétrie fait un changement de variable en posant X = x+1 et démontre que f(X) est paire.

[Yanalou]

Changement de variable... Je n'ai jamais étudié ça. Sauf si c'est un changement de repère...

[Noemi]

C'est un changement de repère avec Y = y

[Yanalou]

Bonjour Noemi, et tous les autres!

J'ai suivi votre conseil et effectué un changement de repère. Mais, je bloque...

Par changement de repère, je montre que le point I(1,1) est centre de symétrie pour C.

A la fin, je trouve que :
x=1+X
y=1+Y sont les formules de changement de repère.

Or vous m'aviez dit de faire X=1+x... Avec les formules, je trouve que X=x-1.

De plus, je n'ai jamais effectué de changement de repère avec l'axe des x. J'ai toujours effectué ceci sous la forme
Comme M(x,y) appartient à C alors y=f(x)= /////
Dans ce cas, est-ce que je dois faire x=x=1 ?

Merci.

[Noemi]

Le changement de repère :
X =x+1
Y = y