2 exercices sur les fonctions de référence

[neo765]

Bonjour,

Exercice 1 :
Dans un repere orthonormal, tracer la courbe f définie sur [-4;4]
- f est périodique de période 2
- f est paire
- si x appartient [0;1], f(x) = racine(x)

Je comprends que par f est paire, la courbe sera symétrique par rapport au centre du repére, mais la période et f(x) = racine(x) je ne comprend pas non plus.

Exercice 2 :
f(x) = 2x² + 4x - 3
1) Montrer que f(x) = 2(x + 1)² - 5
2) Montrer que f peut etre écrite sous la forme d'un composé de 3 fonctions : 2 fonctions affinie h et g définies sur IR par :
h : x --> x + 1
g : 2x --> 2x - 5
et la fonction carré : k : x -->x²
3) Etablir le tableau de variation
4) Tracer la courbe sur [-4;2]

Merci de vos informations

[fonfon]

Salut,

pour l'exo 1.

- f est périodique de période 2
- f est paire
- si x appartient [0;1], f(x) = racine(x)

f est paire donc si ,eet seulementsi , pour tt x ds Df -x ds Df et f(-x)=f(x) ; la representation graphique admet l'axe (o,j) comme axe de symetrie

une fct f est dite periodique et de periode T ssi pour tt x ds Df, x+T ds Df et f(x+T)=f(x).Si une fct est pêriodique et de periode T, il suffit de l'etudier sur un intervalle de longueur T tel que [x1,x1+T[.La representation graphique complete de f se deduit de la representation sur [x1,1+T[ par des translations de vecteurs kTi(->).

avec ceci plus si x appartient [0;1], f(x) = racine(x) je pense que tu peux tracer ta courbe


pour l'exo 2. ou bloques-tu? montres ce que tu as fait

[neo765]

Merci pour ta réponse,

Pour l'exercice 1, que signifie x1 ?

Pour l'exercice 2, juste oui ou non, il faut développer 2(x + 1)² - 5 et vérifier que l'on retrouve bien 2x² + 4x - 3 ?

Sinon c'est surtout pour le b, je ne sais pas par où commencer...

Merci :-)

[Chimerade]

Je comprends que par f est paire, la courbe sera symétrique par rapport au centre du repére

Tu fais erreur ! Les fonctions impaires ont un graphe symétrique par rapport au centre du repère. Les fonctions paires, pour leur part, ont un graphe symétriques par rapport à Oy.

mais la période et f(x) = racine(x) je ne comprend pas non plus.

Périodique de période 2, ça veut dire que f(x+2)=f(x) pour tout x, et par suite que f(x+2k) = f(x) pour tout k entier relatif. Il suffit donc de tracer la partie de courbe située entre n'importe quelle valeur x0 et x0+2 et ensuite de recopier une infinité de fois le fragment ainsi défini après lui avoir fait subir des translations de vecteur (2,0).

On dit que f(x)=racinede x seulement pour x appartenant à [0,1]. Rien ne dit que f(x)=racinede x ailleurs ! Tu peux bien tracer la courbe entre 0 et 1 ! Ensuite, le fait qu'elle soit paire te permet de dessiner la partie située entre -1 et 0 en opérant une symétrie d'axe Oy. Avec ces deux intervalles [-1,0] et [0,1], tu as un intervalle de largeur 2. C'est donc terminé ! Tu n'as plus qu'à recopier le même morceau de graphe entre 1 et 3, puis entre 3 et 5, et aussi entre -3 et -1 et entre -5 et -3, etc...
Pour l'exercice 2, ce n'est pas bien difficile non plus !
Pour 1) tu n'as qu'à développer la deuxième expression pour retrouver la première.

Pour 2 ), il est évident que pour calculer f(x) = 2(x + 1)² - 5, il faut d'abord calculer le résultat de l'addition de 1 à x : or h(x)=x+1 !
Ensuite il faut élever x+1 au carré : or k(x)=x², donc (x+1)²=k(h(x))=(k°h)(x)
Enfin il faut multiplier par 2 le résultat et soustraire 5 et c'est précisément ce que fait la fonction g (je suppose qu'il y a une faute de frappe : g(x)=2x+5 !)
donc f(x)=2(x + 1)² - 5 = g((x+1)²)=g(k(h(x)))=(g°k°h) (x)

Ben voilà !

[fonfon]

Re, pour le x1 je te donne un exemple:
f(x)=cos²(x) ;f(x+pi)=cos²(x+pi)=f(x) f est periodique de periode T=pi.Ilsuffit d'etudier f par exemple ds [-pi/2,pi/2[ avec x1=pi/2

pour le il faut développer 2(x + 1)² - 5 et vérifier que l'on retrouve bien 2x² + 4x - 3 ?
oui tu peux developper ou sinon tu pars de:

2x²+4x-3 et tu utilises la forme canonique soit

f(x)=2(x²+2x)-3=2[(x+1)²-1]-3=2(x+1)²-2-3=2(x+1)²-5
A+

[fonfon]

Re, desolé Chimerade je n'avais pas vu que tu avais repondu :mur:

[neo765]

Pour le 2)
h k g
x --> x + 1 --> (x + 1)² --> 2(x + 1)² - 5

C'est bon ?

Sinon, j'ai réussi pour les autres, encore merci

merci

(les lettres n, k, et g s'affichent mal, chaque lettre correspond une fleche, dans l'ordre)

[fonfon]

Re, oui c'est bon en plus Chimerade ta donner la reponse qui est la même
A+

[neo765]

Re,

Vous avez pas des conseil pour le tableau de variation ?

[julian]

Bonsoir,
Si tu veux faire simple utilises l'expression f(x) = 2x² + 4x - 3.
Tu as vu les dérivées?

[neo765]

La question ct en déduire des cette décomposition le tableau de variation...

[Chimerade]

Re, desolé Chimerade je n'avais pas vu que tu avais repondu :mur:

Mais, ya pas de mal ! De mon côté je n'avais pas vu non plus que tu avais répondu... Cela m'arrive souvent, parce que je commence à répondre, je suis dérangé, je reviens, et quand j'envoie ma réponse, je m'aperçois que plusieurs personnes ont eu le temps de répondre entre temps...