Exercices sur les dérivées

[Marmus1021]

Bonjour à tous ! Je cherche un exercice depuis quelques temps, mais je n’arrive pas à trouver.
Soient a, b et c trois réels tels que a<b<c.
f est une fonction définie et dérivable sur l’intervalle ] a;c [, dont la fonction dérivée f’ est croissante sur ]a;c[

Questions :
1- Montrer que la fonction h:x—> f(x) - f’(b)(x-b) - f(b) est a valeurs positives sur ]a;c[.
2- Interpréter graphiquement le résultat

Donc pour la 1, j’ai essayé de faire le cas où x>b, et celui où b>x, mais ça n’aboutit pas.
Pour la question 2 en revanche, je pense que ça veut dire que la courbe de f est toujours au-dessus des tangentes à la courbe sur cet intervalle.

Voilà si quelqu’un peut m’aider pour la 1

[Mateo_13]

Bonjour,

Soient a, b et c trois réels tels que a<b<c.
f est une fonction définie et dérivable sur l’intervalle ] a;c [, dont la fonction dérivée f’ est croissante sur ]a;c[

Tu as peut-être étudié les fonctions convexes (dont la dérivée seconde est positive).

1- Montrer que la fonction h:x—> f(x) - f’(b)(x-b) - f(b) est a valeurs positives sur ]a;c[.

Supposons que h soit à valeurs positives, (pour voir si on peut faire le raisonnement dans l'autre sens).
Peux-tu alors comparer le coefficient directeur de la sécante en b et celui de la tangente en b ?

(La sécante en b passe par les points B(b ; f(b)) et M(x ; f(x)) ).

Pour faire le raisonnement à l'envers, que peux-tu déduire graphiquement de l'information " f' est croissante " ?

Il faut s'aider d'un ou plusieurs graphiques pour trouver les réponses.

Cordialement,
--
Mateo.

[Marmus1021]

Bonjour, et merci de votre réponse !
J’en n’ai pas encore vu les fonctions convexes en cours. Mais je suis allé voir quelques propriétés.
Si f’ est croissante, cela veut dire que f’’ est positive, donc que la fonction est convexe. Par conséquent, les tangentes sont toujours en-dessous de la courbe.
Je ne sais pas si c’est ça qu’il faut dire. Mais j’ai l’impression que ça répond aussi à la question 2, donc je ne suis pas sûre que c’est ce qui est attendu...

[LB2]

Bonsoir,

pas besoin d'utiliser la définition d'une fonction convexe.
h est une fonction dérivable, et h'(x)=f'(x)-f'(b)
Par hypothèse sur f', h'(x)<0 si x<b, h'(b)=0, h'(x)>0 si x>b.
Donc h est décroissante puis croissante avec un minimum atteint en x=b qui vaut h(b)=0.

h est donc toujours positive.

2. Bonne réponse (tu peux faire un dessin)

[Marmus1021]

Merci beaucoup ! Je n’avais pas pensé à calculer la dérivée de h, alors que c’est le chapitre que je suis en train d´etudier...