Exercices sur le calcul vectoriel (1eS)

[Overlord]

Salut à tous !
Voila en fait ces deux exo font partis d'un DM et c'est les seuls que j'arrive pas à faire. Donc si vous pouviez m'aider ça serait cool.

Exercice 1 :

ABCD est un tétraèdre.
1)Soit un point E tel que AE = -AB + AC + AD (vecteurs)
Démontrer que la droite (BD) est parallèle au plan (ACE).

2)Soit un point F tel que AF = AB + AC + kAD (vecteurs), où k est un nombre réel. Pour quelle valeur de k, la droite (BD) est-elle parallèle au plan (ACF) ?

Exercice 2 :

ABCD est un tétraèdre.
Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. K est le symétrique de D par rapport à A, et L est le centre de gravité du triange BCD.

1)Exprimer les vecteurs KI, KJ et KL comme combinaisons linéaire des vecteurs AB, AC et AD.

2)Exprimer le vecteur KL comme combinaisons linéaire des vecteurs KI et KJ.

3)Que peut-on dire des points I, J, K et L ?

voila merci d'avance

[LN1]

Bonjour,

Quelles sont tes difficultés? Qu'as-tu réussi à faire ?

Indications
1.1) La droite (BD) est parallèle à (ACE) ssi les vecteurs AE, AC et BD sont coplanaires. Dans ton égalité exprime donc AE en fonction de AC et BD

1.2) La droite (BD) est parallèle à (ACF) ssi les vecteurs AF, AC et BD sont coplanaires. Dans ton égalité exprime donc AF en fonction de AC , BD et AD
. Trouve k pour que la composante suivant AD soit nulle

2. 1) Exprimer KI, KJ, KL en fonction de AB, AC, AD est du simple calcul vectoriel à organiser (Chasles, caractérisation des milieux, caractérisation du centre de gravité)
ex1
Chasles KI = AI - AK
ensuite exprime AI en fonction de AB, puis AK en fonction de AD
ex 2
Chasles : KL = AL - AK
caractérisation du centre de gravité : AL = (1/3)(AB + AC + AD)

reviens poser des questions quand tu auras fait ce travail si tu n'arrives pas à faire de 2.2) et le 2.3)

Bon courage

[Overlord]

Merci pour ton aide
Mais je n'ai toujours pas réussi à répondre à la question 2 de l'exercice 1 ni aux question 2 donc 3 de l'exo 2.
Pourrais tu m'expliquer la démarche à suivre stp ? :)

[Overlord]

up j'arrive toujours pas :triste:

[LN1]

I 2.As-tu exprimé AF en fonction de AC, BD et AD ? présente moi ton calcul

II 2 As-tu exprimé KI, KJ, KL en fonction de AB, AC, AD ? présente moi tes calculs.

[Overlord]

pour le 2/ de lexo 1 j'ai trouvé : k = -(2AB + AC - AD) / AD
mais je sais pas si c'est juste

pour lexercice 2 la question 1 je pense avoir réussi j'ai trouvé :
KI = AD + 1/2AB
KJ = AD + 1/2AC
KL = 4/3AD + 1/3AB + 1/3AD je suis pas trop sur pour celui la

mais c'est la question deux que j'arrive pas

[LN1]

I 2. je te demande AF et tu me donnes une valeur de k bizarre (qu'est-ce qu' un vecteur divisé par un vecteur ???? je n'ai jamais vu ça !!! et toi ???)

AF = AB + AC + kAD
en fonction de AC et BD et AD cela donne
AF = AD + DB + AC + kAD
AF = AC - BD + (k + 1) AD

tu veux que AF, AC, et BD soient coplanaires. Il faut donc te débarasser de AD. Il suffit de prendre k + 1 = 0 donc k = -1
alors tu auras AF = AC - BD
les vecteurs AF, AC et BD seront coplaanaires et (BD) sera parallèle au plan (AFC)

II 2.
KI = AD + 1/2AB -------> oui
KJ = AD + 1/2AC ------ > oui
KL = 4/3AD + 1/3AB + 1/3AD ---------> 4/3AD + 1/3 AB + 1/3 AC je suppose

Tu cherches maintenant deux réels a et b tels que
KL = aKI + bKJ
ce qui donne
KL = aAD + a/2AB + bAD + b/2AC
KL = (a + b)AD + a/2 AB + b/2 AC
Comment choisirais-tu a et b pour que cette expression coincide avec
KL = 4/3AD + 1/3 AB + 1/3 AC ?
(a et b sont faciles à trouver en regardant les coefficients devant AB et AC, il faut vérifiant ensuit que tout marche bien pour le coefficient devant AD)