Exercices récurrence TS

[Lily17]

Bonjour, j'ai un DM à faire pour lundi et j'ai du mal à certaines questions :

U est une suite définie par Uo=1 et U(n+1)= (Un)/racine de (Un au carré +1)

1) Conjecturer la suite à l'aide de la calculatrice.

Ça c'est ok

2) Exprimer le quotient U(n+1)/Un
Montrer que pour tout n U(n+1)/Un ≤ 1
En déduire les variations de U

Je pense que j'ai réussi aussi, mais juste pour exprimer le quotient il faut bien juste faire U(n+1)/Un = 1/Racine de (Un au carré +1) ?

3) Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, Un = 1/Racine de (n+1)

Là j'ai réussi l'initialisation sans problème mais je bloque sur l'hérédité la prof nous a mis une direction mais je ne comprends pas :

Au rang (n+1) on a U(n+1) = ...
(Je pense que c'est U(n+1) = 1/Racine de (n+2) mais je suis vraiment pas sûre)

Un = ...
Un au carré +1 = ....
Racine de (Un carré+1) = ...
Donc Un+1 = ...
Ainsi ...

5) En déduire la limite de la suite (Un)
Ici j'ai mis que lorsque n tend vers +∞, racine de n tend aussi vers +∞, alors l'inverse de cette fonction tend, par définition vers 0.

6) Soit p un entier naturel donné. Écrire un algorithme qui restitue le plus petit entier n pour lequel Un < 10 à la puissance -n.
Là je n'y arrive pas du tout il me semble qu'il faut faire apparaître une boucle avec Tant que mais je ne sais rien de plus...

Merci d'avance pour votre aide

[capitaine nuggets]

Salut !

Tu supposes que et tu veux montrer que .
Pour cela, part de et remplace l'expression de en fonction de : . Il ne te reste plus qu'à arranger l'expression obtenue pour qu'elle coïncide avec celle voulue.

[Lily17]

C'est ce que j'ai fait mais lorsque j'ai :

U(n+1) = Un/racine de (Un^2 +1)
= (1/racine de (n+1)) : racine de (1 + (1/racine de (n+1))^2

après je n'arrive pas à aller plus loin je suis bloquée..

[Pseuda]

Bonsoir,

Tu pars de et tu calcules en remplaçant par son expression en fonction de n.

Déjà que fait ?

[Lily17]

Oui, comme je l'ai dit dans le commentaire au dessus j'ai commencé comme ça mais après je suis bloquée car je ne sais pas comment bien développer du coup Un^2 est bien égale à (1/racine de (n+1))^2 ?

[Bigorneau]

Bonsoir,

Il suffit de terminer l'argument :

Suppose qu'en effet U_n = 1/(n+1)^(1/2)

Dès lors, U_{n+1} = U_n /( (U_n)^2 +1 )^(1/2) = U_n /( (n+2)/(n+1) )^(1/2) [en mettant au même dénominateur puisque (U_n)^2 = 1/(n+1), c'était peut-être là le soucis]

U_{n+1} = (1 / (n+1)^(1/2) ) / ( (n+2)/(n+1) )^(1/2) = 1 / (n+2)^(1/2) = 1/( (n+1) +1)^(1/2) ! c'est la réponse

Note : ça aide toujours d'écrire ce que l'on veut montrer par récurrence (pour identifier l'objectif), ici par exemple : Nous supposons U_n = 1/(n+1)^(1/2), montrons qu'au rang (n+1) nous avons U{n+1} = 1/ ( (n+1) + 1)^( 1/2 ).

[Lily17]

D'accord, je pense que j'ai compris. Donc en suivant le raisonnement de ma prof se serait :

Un = 1/racine de (n+1)
Un^2 +1 = (1/(n+1)) + 1 = (n+2)/(n+1) => en réduisant au même dénominateur
Racine de (Un^2 +1) = racine de (n+2)/(n+1)
Et donc U(n+1) = Un/ racine de ((n+2)/(n+1)) = (1/racine de (n+1))/ racine de ((n+2)/(n+1)) = 1/ racine de (n+2)

C'est bien ça ?

[Bigorneau]

Oui, je le remets en format Tex pour clarifier :

On suppose .
On regarde .




Et donc

[Lily17]

D'accord merci beaucoup j'ai bien compris ! Par contre vous aurez une idée sur l'algorithme qui est demandé ? Je pense que ça commence avec
Entrée : Saisir n, saisir p
Traitement : Tant que U < 10^(-p), U prend la valeur ...

Sortie : Afficher n

Mais je ne suis vraiment pas sûre de moi..

[Bigorneau]

Pour les algorithmes, il faut toujours décortiquer.

On voudrait le rang n tel que . Alors oui utilisons une boucle Tant Que.

Voici l'algorithme (je ne sais pas quelle présentation vous devez suivre par contre mais c'est l'idée avec commentaire)

Entrée :
J'initialise et [[le peut être n'importe quoi]]
[[Vous remarquerez que satisfait la condition pour rentrer dans la boucle]]

Traitement :
Tant que [[tant que je n'ai pas atteint le rang n qui me donne ]]




Sortie : Afficher n