Exercices posant des difficultès

[Martin.Thui]

Bonjour à tous et à toutes.

J'ai un exercice de Math pour jeudi qui me pose un assez gros problème :

ABC est un triangle isocèle tel que : AB = AC = 8 et BC = x cm

On note f la fonction f qui à x associe l'aire du triangle ABC.

1. a) Pourquoi la fonction f est-elle définie sur l'intervalle [0 ; 16] ?

b) Démontrez que :
f(4) = 4racine de 15 cm² et que f(8) = 16racine de 3 cm²

2. Conjecturer avec la calculatrice

a) Plus généralement, démontrez que : f(x) = x/4 * racine de 256 - x²

b) Tracez sur l'écran de la calculatrice ou à l'aide d'un logiciel, la courbe représentative de f. Vous pouvez prendre : 0 infèrieur ou égale à X infèrieur ou égale à 16 et -1 infèrieur ou égale à Y infèrieur ou égale 50 comme fenêtre graphique.

c) La fonction f semble admettre un maximum pour une valeure de x0. A l'aide de la fonction TRACE, déterminez une valeur approchée de x0

3. Démontrer

On se propose dans cette question de trouver la valeur exacte de x0.
On a tracé le demi-cercle C de centre A et de rayon AC.
B est un point du demi-cercle C et I le projeté orthogonal de B sur (AC).

a) Démontrez que aire (ABC) = 4*BI.

b) L'aire du triangle ABC est maximale lorsque BI est maximale. Quelle est là position de B sur C pour qu'il soit ainsi ?

c) Déduisez-en que le triangle BAC est rectangle isocèle en A et que x0 = 8racine de 2