Exercices Dérivation/Sens de variation/Tangente

[Mathematicien13]

Bonjour, afin d'avoir une bonne note à mon DS en début de rentrée, j'essaie de faire pas mal d'exercices, notamment celui-ci et je bloque, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît afin que je comprenne tout ? Merci d'avance.

Partie A :

f est la fonction définie sur ]0; + l'infini[ par f(x) = x² - 5x + 1/x² - 5/x + 25/2

1) Démontrer que, pour tout x > 0, f'(x) = [(x²-1)(x-2)(2x-1)]/x^3

2) En déduire le tableau de variation de f.

Partie B :

Pour tout réel x de l'intervalle ]0; + l'infini[, on note (H) l'hyperbole d'équation y = 1/x dans un repère orthonormal (O; vecteur i, vecteur j). M est un point de (H) d'abscisse m et A est le point de coordonnées (5/2 ; 5/2).

Le but de cette partie est de trouver les points M de (H) pour lesquels la distance AM est minimale.
On note h la fonction définie sur ]0; + l'infini[ par : h(m) = AM²

1) Démontrer que h(m) = f(m)

2) a) En utilisant le fait que AM est minimale si et seulement si AM² est minimale, en déduire les coordonnées des points M1 et M2 de (H) pour lesquels la distance AM est minimale.

b) Démontrer que les tangentes en M1 et M2 à (H) sont perpendiculaires respectivement aux droites (AM1) et (AM2).

Je n'ai aucune idée sur comment m'y prendre,et si je n'arrive pas à faire un exercice basique comme celui-ci, je préfère ne pas imaginer la note que j'aurais à mon devoir, si vous pourriez m'aider à éclaircir cela, merci d'avance,

Cordialement, élève de 1ère S.

[XENSECP]

Je suppose que tu as au moins fait la dérivation ?

[Mathematicien13]

Veuillez m'excusez, j'ai oublié de poster mes recherches, y'a t-il besoin que je la mette ? Car ce point-ci, je l'ai compris ^^

[Mathematicien13]

C'est surtout pour la partie B que j'ai du mal .

[XENSECP]

Pour la partie B, tu peux déjà écrire

[Mathematicien13]

Merci bien, mais que représente f(m) ?

[XENSECP]

Merci bien, mais que représente f(m) ?

Tu as f(x) donc tu remplaces juste x par m dans l'expression quoi....

[Mathematicien13]

Exact, veuillez m'excusez, les fêtes m'ont quelques peu fatigués :x
Donc si h(m) = AM² = (Xm - Xa)² + (Ym - Ya)², or A( 5/2 ; 5/2) donc
(Xm - 5/2)² + (Ym - 5/2)² = Xm² - 5 Xm + 25/4 + Ym² - 5Ym + 25/4. or M est un point de (H) d'abscisse m et y = 1/x, donc Xm² - 5 Xm + 25/4 + Ym² - 5Ym + 25/4 = x² - 5x + 1/x² - 5/x² +25/2 Donc h(m) = f(m), est-ce cela ?

[XENSECP]

C'est bien, si ce n'est que tu mélanges les x et les m. Donc si tu dis que M est d'abscisse m alors yM = 1/m et il te reste f(m) effectivement. (passe en m au lieu de laisser des x car tu développes h(m) qui est une fonction de m)

[Mathematicien13]

Ok merci, pourriez vous aussi me lancer sur la piste du 2. a) SvP, j'ai l'impression que c'est un cap au dessus :id:

En utilisant le fait que AM est minimale si et seulement si AM² est minimale, en déduire les coordonnées des points M1 et M2 de (H) pour lesquels la distance AM est minimale.

Merci.

[XENSECP]

Tu as fait le tableau de variations de f donc tu peux savoir quand AM est minimale (il doit y avoir 2 valeurs de m a priori).

[Mathematicien13]

Oui, d'après le tableau de variation, les 2 valeurs minimales sont 4.25 atteint en x = 1/2 et la même valeur atteint en x = 2. Quel rapport avec M?

[XENSECP]

Bah comme AM² = f(m), les valeurs de m = 1/2 et 2 te donnent les points M1 et M2 tel que AM soit minimale.

[Mathematicien13]

Donc M1 = ( 1/2 ; y ) et M2 ( 2; y ) <==> M1 ( 1/2 ; 1/x ) M2 ( 2; 1/x) ?

Puis dès que je connais les points A et M, je fais AM = racine carré de [(Xb - Xa)² + Yb - Ya)²] afin de trouver la distance AM minimale ?

[XENSECP]

What ??

Les valeurs de m telles que AM² = f(m) = h(m) soit minimal sont 1/2 et 2 donc les 2 points sont M1 d'abscisse 1/2 et M2 d'abscisse 2.

Mais M1 et M2 sont des points particuliers du point M. Or M est un point de l'hyperbole donc M1 et M2 aussi. Tu en déduis l'ordonnée de M1 et M2 et c'est plié.

[Mathematicien13]

Effectivement, je me suis emberlificoté. Bah par lecture graphique je trouve 4.25 et M1 et M2 sont tout deux des minimums, donc ils ont la même ordonnée non ? Cela suffit ou y'a t-il un calcul à faire ?

[XENSECP]

Effectivement, je me suis emberlificoté. Bah par lecture graphique je trouve 4.25 et M1 et M2 sont tout deux des minimums, donc ils ont la même ordonnée non ? Cela suffit ou y'a t-il un calcul à faire ?

Oui bah j'ai pas l'impression que t'aies avancé... On s'en fiche de la valeur de AM². On veut juste les deux valeurs de m que tu as trouvé.

Pour les ordonnées de M1 de M2, ce sont pas les mêmes a priori ! Il te suffit de faire le "calcul", sachant que tu as xM1 = m1 = 1/2 et xM2 = m2 = 2 et que M1 et M2 appartiennent à l'hyperbole.

Bon je crois que j'ai fini sur ce sujet. La dernière question étant un peu de calcul de tangente à une courbe en un point et d'orthogonalité de vecteurs.

[Mathematicien13]

Dois-je juste faire (Xm-Xa)² + (Ym - Ya)² en remplaçant Xa et Ya par 5/2 et Xm par l'abscisse que j'ai, soit 1/2 puis 2 ? Puis me reste Ym que je devrais trouvé ? s'il vous plait aidez moi, c'est demain le ds je comprend rien ><