Exercices en arithmétique

[Hanaconda]

Bonsoir,

J'ai un ensemble d'exercices à faire, je suis parvenue à résoudre un bon nombre sans grande difficulté mais je bloque pour le reste.
Voici les questions pour lesquelles je bloque :

- Ecrire en extension D56, les diviseurs de 56 ( jai trouvé 1, 7, 2, 14, 4, 28, 8, 56 )
- soit x et y deux entiers naturels tel que x > y et x^2-y^2= 56
Montrer que x-y et x+y ont même parité ? En déduire x et y ? ( j'ai montré que la somme de x+y et x-y est paire, donc les deux nombres ont même parité. Et comme leur produit est pair, l'un des deux facteurs doit être pair, j'ai cherché parmi les diviseurs deux nombres de même parité dont le produit est 56, mais je crois que je me suis assez éloignée. J'arrive pas à en déduire x et y )
- determiner a et b; deux entiers naturels tels que : a>b et a^2-b^2 = 36

Exo 2 :

- soit n un entier naturel non nul
Déterminer les valeurs de n pour que le nbre 5n+4 soit divisible par n-2
- factoriser a^3+1 ( fait ) puis montrer que 64000001 n'est pas premier ( je peux le faire en me servant de la méthode de la racine carrée, mais je crois que la réponse doit être sous forme d'une conclusion ...)

Merci d'avance !

[annick]

Bonjour,

Tu es pourtant sur la bonne voie.

On a donc (x+y) et (x-y) de même parité.

Les produits possibles pour obtenir 56 sont :

56x1
28x2
14x4
7x8

Les seules possibilités pour avoir deux termes de même parité sont donc
28x2 et 14x4

pour 28x2, on a donc x+y=28 et x-y=2 Système à résoudre facilement pour trouver x et y.

De même pour 14x4.

[Hanaconda]

Merci beaucoup de votre réponse rapide !

En résolvant les deux systèmes, j'ai trouvé que x peut être égal à 15 ou 9. Et y vaut 13 et/ou 5.
Devrais-je faire de même pour la deuxième question ?

Et le deuxième exo, auriez-vous le temps de me donner un coup de main ? Un petit indice peut-être ?

Merci encore.

[annick]

Ou mieux écrit x=15 y=13 ou x=9 y=5 soit l'ensemble solution (15;13) ou (9;5)

[zygomatique]

salut

5n + 4 = 4(n - 2) + n + 12 = 5(n - 2) + 14 = 6(n - 2) + 16 - n ....

n'y a-t-il pas un lien entre a^3 + 1 et 64000001 ?


EDIT : modifié après la remarque de Ben314 ... bien sur

[Hanaconda]

Je vois, merci bien.
Pour le deuxième exercice, je me suis dite que pour que 5n+4 divise n-2 il faut l'écrire sous la forme de k(n-2). Or, en factorisant l'expression essayant de faire apparaître n-2, j'ai trouvé une somme qui est la suivante : 4 (n-2)+n+12
Et je bloque.

[zygomatique]

quelle est la définition de la division euclidienne ?

[Hanaconda]

a = bq + r
ce qui revient à : 5n+4 = 4 (n-2) + (n+12)
Mais, comment en déduire les valeurs de n ?

[Hanaconda]

n doit être égal à -12 ?

[zygomatique]

a = bq + r

faux ...

[Ben314]

Salut,

5(n - 2) + 14 = 6(n - 2) + 16

Heu.....
Tu est sûr de ton coup là ?

[Hanaconda]

C'est l'expression que je connais depuis toujours..avec a le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.
Mais je ne sais pas si c'est ce dont j'ai besoin pour résoudre l'exercice..
pourriez-vous me donner un coup de main ?

Bonne fin de soirée.

[zygomatique]

merci ben314 : j'ai corrigé .... bien sur !!!

C'est l'expression que je connais depuis toujours..avec a le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

FAUX

5 = 2 * 1 + 3 est la division euclidienne de 5 par 2 ?

[Hanaconda]

Bonjour,

C'est 5 = 2*2 + 1, je crois.

[zygomatique]

en math on ne croit pas !!! on apprend des définitions correctement et en entier ...

j'attends toujours la définition de la division euclidienne ....

[Hanaconda]

Quels que soient a un entier naturel et b un entier naturel non nul, il existe un couple unique d'entiers naturels (q ; r ) tel que :
a = bq + r  et r < b.

Cela doit être juste.

[zygomatique]

c'est mieux mais toujours incomplet .... donc j'attends d'avoir une définition exacte de la division euclidienne ....

[Hanaconda]

L'expression a = bq + r  avec r < b  s'appelle la formule de la division euclidienne, q est le quotient euclidien de a par b et r le reste dans la division euclidienne de a par b.

J'ai essayé d'être la plus exacte possible.

[zygomatique]

faux car la condition sur r est fausse


8 = 2 * 5 - 2 est-elle la division euclidienne de 8 par 2 ?
9 = 2 * 5 - 1 est-elle la division euclidienne de 9 par 2 ?

[Hanaconda]

Il faut que r soit un entier naturel ( appartenant à N )