Exercice urgent sur suite et complexe!!

par **Miss76** » 11 Fév 2007, 14:03

bonjour à tous,

je suis bien embétée, j'ai un exercice à faire sur les suites, mais celui ci traite aussi des nombres complexes! je commence à peine les suites et le mélange des deux chapitres me perturbe. pouvez vous m'aidez svp??merci d'avance

soit la suite de points Mn du plan complexe d'affixe Zn telle que Z0=8 et pour tout n apparenant N: Zn+1= [(1+ i racine3)/4]Zn

je dois trouver le module et un argument de (1+i racine3)/4
et ensuite je dois déduire que pour tout n , Mn+1 est l'image de Mn par la composée d'une rotation et d'une homététie que l'on caractérisera. comment dois je faire pour cela???
:briques:

par **Miss76** » 11 Fév 2007, 14:13

aidez moi svp...je suis vraiment perdue!!

par **amine801** » 11 Fév 2007, 14:30

slt

alors

par **Miss76** » 11 Fév 2007, 14:54

oui merci amine, j'ai trouvé l'argument et le module, mais c'est pour déduire que pour tt n Mn+1 est l'image de Mn par la composée d'une rotation et d'une homothétie que l'on caractérisera. comment fait on?

par **amine801** » 11 Fév 2007, 15:06

on a

ce qui corespent a une rotation de

on a aussi

ce qui corespent a une homothetie de centre O(le centre du repere) et
de rapport

par **Miss76** » 11 Fév 2007, 15:18

ah d'accord!!! merci beaucoup! j'avais pas vu le lien avec l'homothétie!!! et puis je me suis trompée, pour moi le module et l'argument que je calculais étaient ceux de Zn et non de Z1! d'ailleurs pourquoi c'est Z1?
MERCI DE TON AIDE c'est vraiment gentil! tu m'as éclairé!

par **amine801** » 11 Fév 2007, 15:22

pour le

c'est juste une appellation a ne pas confondre avec

par **Miss76** » 11 Fév 2007, 15:35

ah ahhhh... OK! j'avais confondu les deux notations! c'est pour cela que je ne comprenais pas! merci beaucoup de ta patience.

maintenant je dois calculer z1 z2 et z3 des points M1 M2 M3
je trouve:

z1=2 + 2 racine3 i
z2=-1+i racine3
z3=-1

est ce correct? je dois ensuite vérifier que z3 est réel! c'est évident, puisque Im(Z3)=0

ensuite j'ai un autre problème: soit téta n=arg(Zn)[2pi]. montrons que la suite (téta n) n appartenant à N est une suite périodique! comment dois je partir? je n'ai jamais fait ça ahlalala :mur:

par **Joker62** » 11 Fév 2007, 15:45

A force de tourner en rond, ce pauvre point va finir par avoir le même argument qu'un ancien point :)

Il faut montrer qu'il existe un entier k tel que A(n) = A(n+k)
Où A(n) est la suite des Arguments des points Mn
Il faut se dire simplement qu'un tour complet c'est 2pi
Or tu as une rotation de Pi/3, donc combien faut-il de pi/3 pour arriver à 2pi ?

Edit : A c'était en faite la suite téta désolé

par **Miss76** » 11 Fév 2007, 15:52

euh bah 6 pi/3 pour obtenir 2pi c'est bien ça? en faisant ça je montre que c'est une suite périodique?? et comment je dois le rédiger? avec des équivalence? avec des phrases? ouhlala lol

merci pour ton aide joker, j'ai compris ton raisonnement! tu m'as bien illustrer ce que je dois chercher. merciiiii

par **Miss76** » 11 Fév 2007, 16:17

quelq'un sait comment rediger qu'une suite est périodique?

par **Joker62** » 11 Fév 2007, 16:33

Bé je t'ai dit qu'il faut prouver l'existence d'un entier k tel que U(n) = U(n+k)
Tu viens de trouver que si tu appliquer 6 fois la rotation, tu revenais sur le même argument ??? 6 ne serait-il ce k ? :o

Donc voilà comment rédiger :)

par **Miss76** » 11 Fév 2007, 16:37

bon tampis pour la suite périodique! :(

autre question, je dois déduire que le triangle OMnMn+1 est rectangle.
j'ai donc calculé le rapport : (Zn+1 - Zn)/ Zn+1, je trouve i racine3
comment je peut conclure que c'est rectangle? je le sais car je viens de trouver un imaginaire, mais comment l'expliquer? merci de répondre :briques:

par **Miss76** » 11 Fév 2007, 16:39

ah d'accord, désolée on a écrit un message en même temps ( et moii j'avais écrit "bon tampis pour la suite périodique!! " lol) merci de m'aider joker! en plus j'ai eu la grippe cette semaine alors je rettrape mes cours ce n'est pas facile!

merci beaucoup

par **Joker62** » 11 Fév 2007, 16:44

Alors pour la suite périodique :

Une suite périodique est telle qu'il existe un entier k de façon à ce que Teta(n) = Teta(n+k) pour tout n dans IN.
On sait que Teta(n) = Arg(Zn) [2pi]
Et Teta(n+k) = Arg(Z(n+k)) [2pi]
Or Z(n+k) c'est l'image de Z(n) après avoir appliquer k fois la suite U(n)
La suite Un effectuant une rotation de pi/3
On a déduit la relation 2pi = kpi/3 d'où k = 6

Pour le problème 2, tu peux utiliser la réciproque du Théorème de Pythagore en calculant le carré du plus grand côté, et la somme des carrés des deux autres.
Ou bien tu calcules les angles, et si tu trouve pi/2 à un angle, c'est gagné

Un début, tu sais que l'angle en Mn vaut pi/3, et que la longueur MnM(n+1) = OMn/2 car l'homotéthie a apparemment un rapport de 1/2

par **Miss76** » 11 Fév 2007, 16:55

hmmmm je vois, mais qu'est ce que Un? une suite qu'on fixe? ( merci bcp vraiment t'es adorable!!)

par **Joker62** » 11 Fév 2007, 17:00

Un c'était en fait la suite du début soit Mn autant pour moi ;)

par **Miss76** » 11 Fév 2007, 17:07

ce n'est pas téta n..? lol

par **Joker62** » 11 Fév 2007, 17:12

lol Non Mn c'est la suite des points Zn
Donc M(n+k) c'est le point Z(n+k) après k fois la rotation de pi/3

par **Miss76** » 11 Fév 2007, 17:34

ah ba oui exacte!!! désolée de t'embrouiller comme ça! je suis vraiment à l'ouest!
merci pour tout!!!!

Exercice urgent sur suite et complexe!!

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