Exercice type BAC nombres complexes

[Elo63]

Bonsoir, je viens vous demander un peu d'aide pour cet exercice et je vais vous dire ce que j'ai fait jusqu'à ce que je sois bloquée ...



A, A',B et B' sont les points d'affixes resepctives 1, -1, i et -i.

à tout point M d'affixe z, distincts des points O, A, A', B et B', on associe les points M1 et M2 d'affixes respectives z1 et z2, tels que les triangles BMM1 et AMM2 soient rectangles et isocèles, avec : (vecteur M1B, M1M) = (vect.M2M, M2A) = [smb]pi[smb] /2

1a) montrer que :
z-z1 = i(i-z1) et z-z2 = i(z-z2)
Pour ça j'ai fait (z-z1)/(i-z1) = i car (vecteur M1B, M1M) = pi/2 et j'ai fait pareil pour l'autre expression/

b) vérifier que z1 et z2 peuvent s'écrire :
z1=((1+i)/2)(z+1) et z2=((1-i)/2)(z+i)
Alors pour ça je bloque par ce que je ne sais pas d'où sort le /2. J'ai essayé de partir de la première expression pour arriver à la seconde et vice versa mais je n'ai pas réussi...

2) On se propose dans cette question de déterminer les points M pour lesquels le triangle OM1M2 est équilatéral.

a) montrer que : OM1=OM2 équivaut à : module z+1 = module z+i
Alors pour cela je suis partie de l'expression donnée dans la question 1)b) mais pareil moi je trouve racine de 2 |z+1| ou racine de 2 module de |z+i|
En déduire l'ensemble (D) des points M tels que OM1=OM2 et tracer (D) sur la figure.

b) montrer que OM1= M1M2 équivaut à : module au carré z+1 = 2 module au carré z
En déduire analytiquement l'ensemble (T) des points M du plan pour lesquels OM1= M1M2 et tracer (T) sur la figure

c) Déduire de l'étude précédente qu'il existe deux points M pour lesquels OM1M2 est un triangle et placer ces points sur la figure.

Pour les questions b)c) je ne me suis pas tellement penchée dessus vu que je bloquais sur le reste ...

Merci d'avance pour votre aide parce que je galère beaucoup ...

[Sa Majesté]

b) vérifier que z1 et z2 peuvent s'écrire :
z1=((1+i)/2)(z+1) et z2=((1-i)/2)(z+i)
Alors pour ça je bloque par ce que je ne sais pas d'où sort le /2. J'ai essayé de partir de la première expression pour arriver à la seconde et vice versa mais je n'ai pas réussi...

Pour z1 ça marche à partir de z-z1 = i(i-z1)

[Elo63]

Euh oui ça marche j'ai réussi à le prouver mais en fait je me suis compliqué la vie pour rien. Désormais je bloque pas mal pour la question 2)c) Je n'arrive pas à prouver ce qui est demandé ...

[Luc]

Bonsoir,

je pense juste qu'il manque un mot à la question 2 c),

Déduire de l'étude précédente qu'il existe deux points M pour lesquels OM1M2 est un triangle et placer ces points sur la figure

.

Je pense que c'est plus ça:

Déduire de l'étude précédente qu'il existe deux points M pour lesquels OM1M2 est un triangle équilatéral et placer ces points sur la figure

non?

Le triangle est équilatéral si et seulement si M1 et M2 vérifient les deux conditions vues en 2)a) et 2)b). C'est donc l'intersection de (D) et (T) ... Je te laisse la suite!

[Elo63]

oui vous avez entièrement raison j'ai oublier un mot ! Désolée.
Merci bien votre aide je vais m'y pencher de plus près demain car là je commence vraiment à fatiguer !
Je vous remercie beaucoup et bonne soirée !

[tigre]

Bonsoir, je viens vous demander un peu d'aide pour cet exercice et je vais vous dire ce que j'ai fait jusqu'à ce que je sois bloquée ...



A, A',B et B' sont les points d'affixes resepctives 1, -1, i et -i.

à tout point M d'affixe z, distincts des points O, A, A', B et B', on associe les points M1 et M2 d'affixes respectives z1 et z2, tels que les triangles BMM1 et AMM2 soient rectangles et isocèles, avec : (vecteur M1B, M1M) = (vect.M2M, M2A) = [smb]pi[smb] /2

1a) montrer que :
z-z1 = i(i-z1) et z-z2 = i(z-z2)
Pour ça j'ai fait (z-z1)/(i-z1) = i car (vecteur M1B, M1M) = pi/2 et j'ai fait pareil pour l'autre expression/

b) vérifier que z1 et z2 peuvent s'écrire :
z1=((1+i)/2)(z+1) et z2=((1-i)/2)(z+i)
Alors pour ça je bloque par ce que je ne sais pas d'où sort le /2. J'ai essayé de partir de la première expression pour arriver à la seconde et vice versa mais je n'ai pas réussi...

2) On se propose dans cette question de déterminer les points M pour lesquels le triangle OM1M2 est équilatéral.

a) montrer que : OM1=OM2 équivaut à : module z+1 = module z+i
Alors pour cela je suis partie de l'expression donnée dans la question 1)b) mais pareil moi je trouve racine de 2 |z+1| ou racine de 2 module de |z+i|
En déduire l'ensemble (D) des points M tels que OM1=OM2 et tracer (D) sur la figure.

b) montrer que OM1= M1M2 équivaut à : module au carré z+1 = 2 module au carré z
En déduire analytiquement l'ensemble (T) des points M du plan pour lesquels OM1= M1M2 et tracer (T) sur la figure

c) Déduire de l'étude précédente qu'il existe deux points M pour lesquels OM1M2 est un triangle et placer ces points sur la figure.

Pour les questions b)c) je ne me suis pas tellement penchée dessus vu que je bloquais sur le reste ...

Merci d'avance pour votre aide parce que je galère beaucoup ...

pour le b)
z-z1 = i(i-z1)
z-z1=-1+iz1
z+1=z1(1+i)

le méme truc pour le z2 c'est ainsi qu'on fait apraitre le 2
pour le 2
rapidement
equilatérle omm'
=x=pi/3

[Elo63]

merci beaucoup tigre mais j'ai encore du mal pour démontrer la question 2)b) ...