Exercice trigo

[kimiferrari]

1) Résoudre (1): sin 3x = - sin 2x, dans R puis dans ]- pi ; pi]
Représenter les images des solutions sur le cercle trigonométrique.

2)a) Vérifier que sin 3x = sin x (4 cos²x -1)
b) Déduire que (1)<=> sin x (4 cos²x + cosx -1) = 0
c) Parmi les solutions de (1), lesquelles sont aussi solutions de 4 cos²x + 2 cosx -1 = 0 ?

3) Utiliser X = cos X et résoudre 4 X² + 2X -1 = 0
En déduire les valeurs exactes de cos (2 pi/5) et cos (4 pi/5)
Une petite aide pour comemncer me serait bien utile...
Merci d'avance

[fonfon]

salut, pour comencer tu peux remarquer que

sin(3x)=-sin(2x) <=> sin(3x)=sin(-2x) <=> 3x=-2x+ k2pi ou 3x=pi+2x+k2pi <=>....

[oscar]

Bonjour

1)sin 3x = -sin 2x= sin (pi+2x)=> 3x = pi+2x + 2kpi=>
x = pi + 2kpi Sur un cercle trigo les solutions sont en pi(1)

2) a)sin 3x = sin (2x+x)=
sin 2x cos x + subx cos 2x
=2sin x cos x cos x + sin x(2cos² x -1)
=sin x(2cos²x + 2cos²x -1)
=sin x( 4 cos²x -1)

b)sin 3x = -sin 2x
=>sin 3x + sin 2x= 0
<=>sin x( 4cos²x -1) +sin 2x
=sin x( 4cos²x -1) + 2 sinx cos x
= sin x(4cos²x-1 +2cos x)
= sin x (4cos² x + 2cos x -1)

c)Les solutions de (1) sont celles de 4cos²x + 2cos x -1

2)Soit X = cos X
Résoudre 4X² +2X - 1 =0
delta = 20= 4*5 et X = (-2 +ou-2v5)/8= (-1 + ou - v5)/4
ou 1/4(v5-1) et 1/4( v5 +1)
Remarquons que cos 4 pi/5 = - cos pi/5

Ce sont bien les solutions évoquées :happy2: