Exercice très facile :) Trinome 3ème degré

[Bambiii]

Bonjour a tous, voilà j'ai des exercices pour la rentrée et vous me comprendrez quand je vous dis que j'aimerais les finir rapidement donc je m'y suis mis maitenant =).
C'est un trinome de degré 3. F(x) = x^3 + x - 1
1) Étudier les variations de f. On ne demande pas de construire la courbe de f.
2) Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une seul solution x0 dans [0;1]
3) Trouver, à l'aide d'un calculatrice, une encadrement d'amplitude 0,01 de x0.

Voilà tout d'abord j'ai commencer par faire la première question, j'ai fait la dérivé et fait son tableau de signe + tableau de variation et j'ai trouver que la fonction est croissante de -infini jusqu'à +infini (reprenez moi si je me trompe..) mais la question 2 je bloque je ne sais pas si il faut la faire avec le déscriminant ou par une autre méthode. Et pour la dernière question il est possible de la faire sans la calculette ?
Merci de votre aide :we:

[fibonacci]

Bonjour,

pour la

1) ok

2) , change de signe donc elle traverse l'axe des x ce qui signfie qu'il existe un point

3) les calculettes non pas toujours là, la valeur

qui vérifie est peu différente de 0.6823

[Huppasacee]

Le théorème qu'a utilisé fibonacci s'appelle " Théorème des Valeurs Intermédiaires"

Une fonction continue sur l'intervalle [a ; b]

telle que f(a)*f(b) < 0 ( c'est à dire que les 2 images sont de sens opposés )

et monotone sur cet intervalle (strictement croissante ou décroissante )
admet une et une seule racine située entre a et b,

Généralement, on utilise ce théorème pour des fonctions dont on ne peut pas calculer facilement la ou les racines

Et là , la calculette intervient

mon conseil

après avoir tapé la fonction
faire une table avec un pas du 1/10 de (b -a)
repérer les valeurs où la fonction change de signe a1 et b1
puis refaire une autre table avec un pas de 1/10 ( b1 - a1)

etc . jusqu'à obtenir l'encadrement demandé ( ici 0.01 )

cela évite d'avoir à balayer un tableau avec plus d'une centaine de valeurs sur l'écran de la calculette

sino , on peut opérer par dichotomie ou "trichotomie " si on n'a pas de calculette graphique

caculer f [( b + a )/2]
voir son signe
suivant son signe , prendre l'intervalle de droite ou de gauche et calculer l'image du point milieu et continuer pour affiner l'encadrement

pour notre cas

b-a = 1
pour avoir un encadrement de 0.01

7 calculs d'images suffiront ( maximum)
pas de 1/2, puis 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 1/64, 1/128

mais là aussi , la calculatrice est utile ( rapidité )

[Bambiii]

Bonjour,

pour la

1) ok

2) , change de signe donc elle traverse l'axe des x ce qui signfie qu'il existe un point

3) les calculettes non pas toujours là, la valeur

qui vérifie est peu différente de 0.6823

Donc pour le 2) si j'ai bien compris il faut que je dise ce que tu m'a dit ? mais j'ai pas compris x0 quel est sa valeur ?

3) comment a tu fait pour trouver cette valeur ?

[fibonacci]

le génèral:

Une fonction continue sur l'intervalle [a ; b]

telle que f(a)*f(b) < 0 ( c'est à dire que les 2 images sont de sens opposés )

et monotone sur cet intervalle (strictement croissante ou décroissante )
admet une et une seule racine située entre a et b,

Généralement, on utilise ce théorème pour des fonctions dont on ne peut pas calculer facilement la ou les racines

au cas particulier.

on peut écrire:

la fonction est continue sur l'intervalle [a ; b]

est telle que f(a)*f(b) < 0 ( c'est à dire que les 2 images sont de sens opposés )

et monotone sur cet intervalle (strictement croissante ou décroissante )
admet une et une seule racine située entre a et b,

ici d'où est comprise dans l'intervalle

quant à la valeur;la méthode que j'ai employée n'est pas d'actualité.

c'est à celle de Huppasacee qu'il faut faire réfèrence.

[Bambiii]

Merci à vous j'ai compris :D