Exercice Théorème de la médiane

[Iroto]

Bonjour,
J'ai un gros problème dans mon devoir:
Voici ma question et ma démarche


On rappelle le théorème de la médiane: si A, B, C sont des points quelconques et si I est le milieu de [BC] alors
AB^2 + AC^2= 2AI^2 + 1/2 BC^2

Exercice:
Soit A, B,C,D des points du plan.
1. On suppose dans cette question que ABCD est un rectangle. Démontrer que pour tout point M du plan,
MA^2 + MC^2= MB^2+ MD^2
Cette question est résolue, je n'ai pas eu de problème.

2. Réciproquement, on suppose que pour tout point M du plan,
MA^2 + MC^2= MB^2+MD^2
démontrer que ABCD est un rectangle.
Voici ma démonstration:
on a donc comme hypothèse de départ la formule si dessus.
D'une part, on prend I milieu de [AC].
D'après le,théorème de la médiane, pour tout point M,
On a MA^2+ MC^2= 2MI^2+ 1/2 AC^2

D'autre part, on prend J milieu de [BD].
D'apres le meme théorème, on a : MB^2+ MD^2= 2MJ ^2+ 1/2BD^2
Or, MA^2+ MC^2= MB^2+ MD^2
donc 2MI ^2+ 1/2 AC^2= 2MJ^2+ 1/2 BD^2
donc MI= MJ
Et AC= BD
I et J sont donc égaux.
[AC] et [BD] ont par conséquent le meme milieu.
Donc ABCD est un rectangle ( diagonales de même longueur et meme milieu)
Je sais que ma démonstration est fausse mais je ne trouve pas d'autre solution, j'aurais besoin d'aide.

[jlb]

Bonjour,
J'ai un gros problème dans mon devoir:
Voici ma question et ma démarche


On rappelle le théorème de la médiane: si A, B, C sont des points quelconques et si I est le milieu de [BC] alors
AB^2 + AC^2= 2AI^2 + 1/2 BC^2

Exercice:
Soit A, B,C,D des points du plan.
1. On suppose dans cette question que ABCD est un rectangle. Démontrer que pour tout point M du plan,
MA^2 + MC^2= MB^2+ MD^2
Cette question est résolue, je n'ai pas eu de problème.

2. Réciproquement, on suppose que pour tout point M du plan,
MA^2 + MC^2= MB^2+MD^2
démontrer que ABCD est un rectangle.
Voici ma démonstration:
on a donc comme hypothèse de départ la formule si dessus.
D'une part, on prend I milieu de [AC].
D'après le,théorème de la médiane, pour tout point M,
On a MA^2+ MC^2= 2MI^2+ 1/2 AC^2

D'autre part, on prend J milieu de [BD].
D'apres le meme théorème, on a : MB^2+ MD^2= 2MJ ^2+ 1/2BD^2
Or, MA^2+ MC^2= MB^2+ MD^2
donc 2MI ^2+ 1/2 AC^2= 2MJ^2+ 1/2 BD^2
donc MI= MJ
Et AC= BD
I et J sont donc égaux.
[AC] et [BD] ont par conséquent le meme milieu.
Donc ABCD est un rectangle ( diagonales de même longueur et meme milieu)
Je sais que ma démonstration est fausse mais je ne trouve pas d'autre solution, j'aurais besoin d'aide.

Remplace M successivement par A,B,C,D dans la relation: tu vas pouvoir montrer que 2AC²=2BD² à partir des 4 relations obtenues donc AC=BD et ensuite ton raisonnement sera bon pour conclure que les diagonales ont le même milieu

[Iroto]

Merci beaucoup!
Alors, j'ai fait:
AA^2+ AC^2= AB^2+ AD^2
AC^2 = AB^2 + AD^2
AC^2= -DB^2

BA^2+ BC^2= BB^2+ BD^2
ainsi de suite, j'ai donc trouvé:
-AC^2+ AC^2 = -DB^2+ -DB^2
donc 2AC^2= 2BD ^2
et apres je remplace dans les formules, c'est bon non ?

[jlb]

Alors, j'ai fait:
M=A

AA^2+ AC^2= AB^2+ AD^2
AC^2 = AB^2 + AD^2
AC^2= -DB^2????? l, je vois pas !!

M=C

CA² +CC² =CB² + CD²
CA²=CB²+CD²

tu additionnes 2AC²=AB²+AD²+CB²+CD²


et tu procèdes de meme avec M=B puis M=D et tu retrouves la même expression AB²+AD²+CB²+CD²
pour 2DB²

[Iroto]

D'accord merci c'est bien ce que j'ai trouvé, bonne soirée!