Exercice terminale S équations différentielles

[adora]

Bonjour, j'ai un exercice que je n'arrive pas a résoudre.

Donnée: g(x)=h(x)e(-x)
h'(x)=x^n/n!
(En) y'+y=(x^n/n!)e(-x)

Soit V une fonction dérivable sur R.

1/ Montrer que V est une solution de (En) si et seulement si V-g est solution de l'équation (F) y'+y=0.
j'ai compris que (V-g)'+(V-g)=0 mais je n'arive pas a montrer que V est solution de (En)

2/ Résoudre (F).

3/ Déterminer la solution générale V de l'équation (En).
je ne comprends pas la question XD.

4/ Déterminer la solution f de l'équation (En) vérifiant f(0)=0.

Merci de votre aide.

[Clise]

Bonjour,

1) Tu dois prouver que si (V-g) est solution de y'+y=0 alors V est solution de (En) ET que si V est solution de (En) alors (V-g) est solution de y'+y = 0. C'est la définition du "si et seulement si".

Pour t'aider, la dérivée est linéaire, donc

Si V-g est solution de y'+y = 0, tu as
(V-g)' + (V-g) = 0
V' - g' + V -g = 0
V'+V = g' + g = ...

Je te laisse continuer, tu trouveras le résultat en remplaçant g et g' par leurs expressions analytiques.

[adora]

Ok, j'ai réussi mais je n'arrive pas à résoudre (F) car j'ai V+V'=(x^n.e-x)/n!
et du coup j'ai V'=[(x^n.e-x)/n!]-V
Mais je n'arrive pas a faire
fk(x)=k.e(ax)
car dans mon a: (x^n.e-x)/n! il y a du x et du coup ça ne marche pas.
Je ne voit pas comment faire.