Exercice terminale combinatoire/dénombrement

[ririmml]

Bonsoir,
j'espère trouver de l'aide en venant ici sur un problème de maths:

-dix personnes sont assises autour d'une table ronde.
-dix jetons portant les numéros 1 à 10 sont distribués au hasard à ces 10 personnes.
- chaque personne gagne une somme égale en euro au total de son propre jeton et celui de son voisin de gauche et de celui de son voisin de droite.

-> ainsi il est possible dire au moins une des 10 personnes aura un gain au moins égal à X euros : Déterminez la plus grande valeur de X

En vous remerciant d'avance de prendre le temps de vous penchez dessus:)

[lyceen95]

C'est un exercice où il faut prendre des initiatives. Tu as bien essayé quelque chose ?
Déjà, en répondant au hasard, tu donnerais quel nombre ?

[ririmml]

oui j'ai cherché quand même et j'ai trouvé qu'au minimum il y a une personne qui est sure de gagner 13 (ce que gagne le dix entre le 1 et le 2).. mais je pense que cela ne suffit pas. peut-être faut-il calculer la somme moyenne.. je ne sais pas

[lyceen95]

13 , ok, ton explication est correcte. On aurait donc 10 entre 1 et 2.
1.10.2.a.b.c.d.e.f.g
La personne qui a reçu le jeton n°2 va toucher combien ?
Est-ce que 13 est possible ?

peut-être faut-il calculer la somme moyenne

Peut-être, en effet. Et pourquoi ça pourrait servir ?
Et est-ce que c'est compliqué à calculer ? Si le calcul prend 8 secondes, faisons le calcul, pour voir.

[ririmml]

le jeton n°2 toucherait 15euros
et oui je pense que 13 ou plus c'est possible

Pour la moyenne je l'ai calculé dans la configuration 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 soit 165euros distribué au total mais je ne pense pas que cette moyenne change selon la configuration..

[lyceen95]

Tu dis : je pense que 13 ou plus c'est possible
Je ne comprends pas ce que tu veux dire.
Tu dis : je ne pense pas que cette moyenne change selon la configuration
Pareil, je ne comprends pas ce que tu veux dire.

Avançons :

Au total , on va distribuer 165€, à répartir entre 10 personnes.
En moyenne, chaque personne reçoit 16€50.
Est-ce qu'on peut arriver à cette moyenne si tous les 10 participants touchent au maximum 16€ ?
Et donc, on est certain qu'au moins une personne va toucher au moins xx €.
(à toi de remplacer xx par la bonne valeur).

[ririmml]

si tout le monde touche au maximum 16euros on arrive pas à cette moyenne de 165, il faudrait donc mettre 17euros à la place de X si j'ai bien compris

mais est-on sûr que 17euros est la plus grande valeur que l'on peut mettre à la place de x?

[lyceen95]

mais est-on sûr que 17euros est la plus grande valeur que l'on peut mettre à la place de x?

Jusque là, c'était facile ... on calcule facilement le 165, et on trouve que la réponse, ce sera un nombre au moins égal à 17.
Ensuite, ça se corse. Et je n'ai pas assez cherché, je n'ait pas la réponse.

Mettons les 10 personnes en ligne : a b c d e f g h i j
Et bien sûr, le cercle est fermé, donc j est à coté de a.
Essayons de placer les gros montants (10, 9, 8, 7)
Est-ce qu'on va réussir à les placer, en faisant en sorte que personne ne touche plus de 17€

Si c'est a qui a le jeton n°10, alors b c i j ne peuvent pas avoir les autres gros jetons (7 ou 8 ou 9). Sinon, on aurait au moins une personne qui touche au moins 18€ ; essaie de continuer en exploitant cette piste.